Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
.
Informações fornecidas e pontos importantes a notar:
é função de três variáveis
.
A expressão interna é .
Para que e sua derivada existam normalmente precisamos de
(ou
se aceitarmos a derivada a partir da direita em
, mas a fórmula com
exige
).
A tarefa é calcular ,
e
.
Informações fornecidas e pontos importantes a notar:
A expressão interna é
Para que
A tarefa é calcular
Passo 2
Estratégia (explicação didática da ferramenta que vamos usar): vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A ideia é ver
como uma composição
com
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para cada variável (por exemplo
),
porque a derivada de
em relação a
é
(que é equivalente a
). Vou mostrar isso passo a passo para cada variável.
Passo 3
Definimos explicitamente
Aqui
é a função interna. Para aplicar a regra da cadeia precisamos das derivadas parciais de
em relação a
. Vamos calcular cada uma separadamente, lembrando que ao derivar em relação a uma variável tratamos as outras como constantes.
Passo 4
Cálculo de
: diferenciar
em relação a
. O termo
é linear em
com coeficiente
, e
é constante em
. Logo
Explicação rápida: pense em
como constante multiplicando
; derivada de
é
, então sobra
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
,
(Se preferir,
.)
Passo 6
Cálculo de
: diferenciar
em relação a
. O termo
é constante em
. Para
,
é constante e derivada de
é
. Assim
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
,
Passo 8
Cálculo de
: aqui temos
. O termo
é constante em
. A derivada de
em relação a
é
. Portanto
válido para
.
Passo 9
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
,
válido para
.
Passo 10
Resumo e observações finais amigáveis: calculamos todas as parciais usando a regra da cadeia e a derivada de
. Lembre-se de que as fórmulas usam
, que pode ser reescrita como
se preferir. Para
é preciso
para evitar divisão por zero.