Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\operatorname{tg}\left(\mathrm{x} . \mathrm{y}^{2}-\sqrt{z}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y,z)=\operatorname{tg}\!\left(x\cdot y^{2}-\sqrt{z}\right).
Informações fornecidas e pontos importantes a notar:
\,f é função de três variáveis x,y,z.
A expressão interna é x\cdot y^{2}-\sqrt{z}.
Para que \sqrt{z} e sua derivada existam normalmente precisamos de z>0 (ou z\ge 0 se aceitarmos a derivada a partir da direita em z=0, mas a fórmula com \tfrac{1}{\sqrt{z}} exige z>0).
A tarefa é calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática da ferramenta que vamos usar): vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A ideia é ver f como uma composição f(x,y,z)=\tan\big(u(x,y,z)\big) com
u(x,y,z)=x\,y^{2}-\sqrt{z}.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, para cada variável (por exemplo x),
\frac{\partial}{\partial x}\tan\big(u(x,y,z)\big)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x,y,z)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z),
porque a derivada de \tan(t) em relação a t é \operatorname{sec}^{2}(t) (que é equivalente a \dfrac{1}{\cos^{2}(t)}). Vou mostrar isso passo a passo para cada variável.

Passo 3

Definimos explicitamente
u(x,y,z)=x\,y^{2}-\sqrt{z}=x\,y^{2}-z^{1/2}.
Aqui u é a função interna. Para aplicar a regra da cadeia precisamos das derivadas parciais de u em relação a x,y,z. Vamos calcular cada uma separadamente, lembrando que ao derivar em relação a uma variável tratamos as outras como constantes.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial x}: diferenciar u(x,y,z)=x\,y^{2}-z^{1/2} em relação a x. O termo x\,y^{2} é linear em x com coeficiente y^{2}, e -z^{1/2} é constante em x. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)=y^{2}.
Explicação rápida: pense em y^{2} como constante multiplicando x; derivada de x é 1, então sobra y^{2}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x,y,z)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z).
Substituindo u e \dfrac{\partial u}{\partial x}=y^{2},
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=y^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x\,y^{2}-\sqrt{z}\big).
(Se preferir, \operatorname{sec}^{2}(\cdot)=\dfrac{1}{\cos^{2}(\cdot)}.)

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial y}: diferenciar u(x,y,z)=x\,y^{2}-z^{1/2} em relação a y. O termo -z^{1/2} é constante em y. Para x\,y^{2}, x é constante e derivada de y^{2} é 2y. Assim
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z)=x\cdot 2y=2xy.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x,y,z)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z).
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial y}=2xy,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2xy\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x\,y^{2}-\sqrt{z}\big).

Passo 8

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial z}: aqui temos u(x,y,z)=x\,y^{2}-z^{1/2}. O termo x\,y^{2} é constante em z. A derivada de -z^{1/2} em relação a z é -\dfrac{1}{2}z^{-1/2}=-\dfrac{1}{2\sqrt{z}}. Portanto
\frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z)=-\frac{1}{2\sqrt{z}},
válido para z>0.

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial z}:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x,y,z)\big)\cdot\frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z).
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial z}=-\dfrac{1}{2\sqrt{z}},
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-\frac{1}{2\sqrt{z}}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x\,y^{2}-\sqrt{z}\big),
válido para z>0.

Passo 10

Resumo e observações finais amigáveis: calculamos todas as parciais usando a regra da cadeia e a derivada de \tan. Lembre-se de que as fórmulas usam \operatorname{sec}^{2}\big(xy^{2}-\sqrt{z}\big), que pode ser reescrita como \dfrac{1}{\cos^{2}\big(xy^{2}-\sqrt{z}\big)} se preferir. Para \dfrac{\partial f}{\partial z} é preciso z>0 para evitar divisão por zero.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=y^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x\,y^{2}-\sqrt{z}\big)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2xy\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x\,y^{2}-\sqrt{z}\big)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-\frac{1}{2\sqrt{z}}\,\operatorname{sec}^{2}\!\big(x\,y^{2}-\sqrt{z}\big)

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