Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Perguntas claras: encontrar
e
. Informação importante do enunciado: a função envolve o quociente
, portanto o domínio natural exige
. Nada mais foi pedido.
Passo 2
Vamos organizar a composição de funções para aplicar a regra da cadeia com calma. Definimos duas funções internas:
e a função externa
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
e análogamente para
. Vou calcular passo a passo
,
, depois
,
e finalmente as derivadas de
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
.
Tratando
como constante ao derivar em relação a
,
Tratando
como constante ao derivar em relação a
, escrevemos
e usamos a regra da potência:
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
e
usando a cadeia com
.
Derivada de
em relação a
é
. Então,
onde substituí
.
E
Passo 5
Agora aplicamos a etapa final da regra da cadeia para
.
Como
, temos
Simplificando:
E
Simplificando:
Observação final: ambas as expressões são válidas para
, que é onde a função está definida.