Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=e^{\cos (x / y)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=e^{\cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right)}.
Perguntas claras: encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Informação importante do enunciado: a função envolve o quociente \dfrac{x}{y}, portanto o domínio natural exige y\neq 0. Nada mais foi pedido.

Passo 2

Vamos organizar a composição de funções para aplicar a regra da cadeia com calma. Definimos duas funções internas:
v(x,y)=\dfrac{x}{y},
u(x,y)=\cos\big(v(x,y)\big)=\cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right),
e a função externa
f(x,y)=\exp\big(u(x,y)\big)=e^{u(x,y)}.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, por exemplo,
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{d}{du}\big(e^{u}\big)\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}=e^{u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x},
e análogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}. Vou calcular passo a passo \dfrac{\partial v}{\partial x}, \dfrac{\partial v}{\partial y}, depois \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} e finalmente as derivadas de f.

Passo 3

Calcular as derivadas de v(x,y)=\dfrac{x}{y}.
Tratando y como constante ao derivar em relação a x,
\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{y}.
Tratando x como constante ao derivar em relação a y, escrevemos v(x,y)=x\cdot y^{-1} e usamos a regra da potência:
\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(x y^{-1}\big)=x\cdot(-1)y^{-2}=-\dfrac{x}{y^{2}}.

Passo 4

Calcular as derivadas de u(v)=\cos(v) em relação a x e y usando a cadeia com v(x,y).
Derivada de \cos(v) em relação a v é -\sin(v). Então,
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{d}{dv}\big(\cos v\big)\cdot\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\sin(v)\cdot\dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{y}\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right),
onde substituí v=\dfrac{x}{y}.
E
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{d}{dv}\big(\cos v\big)\cdot\dfrac{\partial v}{\partial y}=-\sin(v)\cdot\left(-\dfrac{x}{y^{2}}\right)=\dfrac{x}{y^{2}}\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right).

Passo 5

Agora aplicamos a etapa final da regra da cadeia para f=e^{u}.
Como \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}, temos
\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x}=e^{\cos\left(\frac{x}{y}\right)}\cdot\left(-\dfrac{1}{y}\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\right).
Simplificando:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{e^{\cos\left(\frac{x}{y}\right)}\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right)}{y}.
E
\dfrac{\partial f}{\partial y}=e^{u}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial y}=e^{\cos\left(\frac{x}{y}\right)}\cdot\left(\dfrac{x}{y^{2}}\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\right).
Simplificando:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x\,e^{\cos\left(\frac{x}{y}\right)}\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right)}{y^{2}}.
Observação final: ambas as expressões são válidas para y\neq 0, que é onde a função está definida.

Resposta

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{e^{\cos\left(\frac{x}{y}\right)}\sin\!\left(\frac{x}{y}\right)}{y}
\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{x\,e^{\cos\left(\frac{x}{y}\right)}\sin\!\left(\frac{x}{y}\right)}{y^{2}}

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