Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas:
e as incógnitas em relação às quais queremos derivar são
e
. Portanto precisamos encontrar
Passo 2
Vamos rever as regras que vamos usar (ninguém começa correndo numa prova sem saber o básico):
Aqui, quando derivamos
em relação a
(ou
), tratamos a função interna como
e aplicamos a regra da cadeia com derivadas parciais.
Aplicando (ii) sobre
e (iii) dentro da cadeia, teremos o padrão típico: multiplicar pelo expoente, reduzir a potência em 1, e multiplicar pela derivada da parte interna.
Passo 3
Para organizar, fazemos a substituição interna:
então
Isso facilita: primeiro achamos
e depois multiplicamos por
ou
, conforme a variável.
Passo 4
Calcular
usando regra da potência + derivada do seno:
Explicando cada parte: o
vem da potência
,
é a potência reduzida, e
é a derivada de
.
Passo 5
Agora calculamos
tratando
como constante:
Justificativa:
é constante em relação a
, então derivada de
é
, ficando
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
e multiplicando os fatores:
Passo 7
Agora calculamos
tratando
como constante:
Explicando: derivate de
em relação a
é
; o fator
é constante, ficando
.
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
e simplificando:
Passo 9
Resumo da técnica (para usar rapidinho na prova): identificar a parte interna
, derivar a “camada externa”
para obter
, e depois multiplicar pela derivada parcial de
em relação à variável desejada. Um exemplo rápido de treino: se
, então
. Isso é o mesmo padrão que usamos aqui, só que com
.