Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem: isto é,
,
e
. As informações relevantes são: a expressão explícita de
em termos de
e que devemos tratar cada derivada parcial mantendo as outras variáveis constantes.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Quando calculamos
estamos medindo a taxa de variação de
quando só
muda e
ficam fixas. Formalmente,
e análogos para
e
. Na prática, aplicamos as regras de diferenciação normais, tratando as outras letras como constantes.
Passo 3
Regra útil aqui: a derivada da exponencial composta. Se
, então usamos a regra da cadeia:
Explico: a derivada de
em relação a uma variável é
vezes a derivada de
(porque
). Aqui há o fator constante
que permanece multiplicando.
Passo 4
Identificamos a função interna:
Agora calculemos
mantendo
constantes. Como
, o termo
visto como função de
(com
constante) tem derivada
, e
é constante, logo
Aplicando a regra da cadeia:
Podemos reescrever ordenando:
.
Passo 5
Agora
. Com a mesma
, derivando em relação a
(agora
fixos) obtemos
Pela regra da cadeia:
Ou seja
.
Passo 6
Finalmente
. Derivando
em relação a
(com
fixos) temos
Aplicando a regra da cadeia: