Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
\mathrm{w}=3 \cdot \mathrm{e}^{(\mathrm{x} \cdot \mathrm{y}+\mathrm{z})}

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{w}=3\cdot \mathrm{e}^{(\mathrm{x}\cdot \mathrm{y}+\mathrm{z})} e pede as derivadas parciais de primeira ordem: isto é, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}. As informações relevantes são: a expressão explícita de w em termos de \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z} e que devemos tratar cada derivada parcial mantendo as outras variáveis constantes.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Quando calculamos \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} estamos medindo a taxa de variação de w quando só \mathrm{x} muda e \mathrm{y},\mathrm{z} ficam fixas. Formalmente,
\frac{\partial w}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{w(x+h,y,z)-w(x,y,z)}{h},
e análogos para \partial w/\partial y e \partial w/\partial z. Na prática, aplicamos as regras de diferenciação normais, tratando as outras letras como constantes.

Passo 3

Regra útil aqui: a derivada da exponencial composta. Se \displaystyle w=3\mathrm{e}^{u(x,y,z)}, então usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}=3\mathrm{e}^{u(x,y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Explico: a derivada de \mathrm{e}^{u} em relação a uma variável é \mathrm{e}^{u} vezes a derivada de u (porque \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{u(t)}=\mathrm{e}^{u(t)}u'(t)). Aqui há o fator constante 3 que permanece multiplicando.

Passo 4

Identificamos a função interna:
u(x,y,z)=x y + z.
Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} mantendo \mathrm{y},\mathrm{z} constantes. Como u=x y + z, o termo xy visto como função de x (com y constante) tem derivada y, e z é constante, logo
\frac{\partial u}{\partial x}=y.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}=3\mathrm{e}^{(xy+z)}\cdot y.
Podemos reescrever ordenando: \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=3y\,\mathrm{e}^{(xy+z)}.

Passo 5

Agora \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}. Com a mesma u(x,y,z)=xy+z, derivando em relação a \mathrm{y} (agora \mathrm{x},\mathrm{z} fixos) obtemos
\frac{\partial u}{\partial y}=x.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial y}=3\mathrm{e}^{(xy+z)}\cdot x.
Ou seja \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=3x\,\mathrm{e}^{(xy+z)}.

Passo 6

Finalmente \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}. Derivando u=xy+z em relação a \mathrm{z} (com \mathrm{x},\mathrm{y} fixos) temos
\frac{\partial u}{\partial z}=1.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial z}=3\mathrm{e}^{(xy+z)}\cdot 1=3\mathrm{e}^{(xy+z)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=3y\,\mathrm{e}^{(xy+z)}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=3x\,\mathrm{e}^{(xy+z)}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=3\,\mathrm{e}^{(xy+z)}

Exercícios relacionados