Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=2^{\operatorname{sen}(3 x-2 y)}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}.
Perguntas explícitas: calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f com a função exponencial de base 2 e um argumento que é \operatorname{sen}(3x-2y).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos uma função da forma \displaystyle f(x,y)=a^{u(x,y)} com a>0 constante, é útil lembrar que
a^{u}=e^{u\ln a},
portanto a derivada segue a regra da cadeia. A fórmula que vamos usar é
\frac{\partial}{\partial x}\big(a^{u(x,y)}\big)=a^{u(x,y)}\ln a\;\frac{\partial u}{\partial x},
e análoga para a derivada em relação a y. Aqui a=2 e u(x,y)=\operatorname{sen}(3x-2y).

Passo 3

Regra da cadeia aplicada passo a passo (lembrando conceitos):
  • Se u(x,y)=\operatorname{sen}(v(x,y)), então
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(v(x,y))\cdot\frac{\partial v}{\partial x},
porque \frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
  • No nosso caso v(x,y)=3x-2y. Como v é linear,
\frac{\partial v}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-2.
Juntando: para u=\operatorname{sen}(3x-2y) temos
\frac{\partial u}{\partial x}=3\cos(3x-2y),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2\cos(3x-2y).

Passo 4

Aplicando agora a fórmula da derivada de a^{u(x,y)} com a=2:
\frac{\partial f}{\partial x}=2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\ln 2\;\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}(3x-2y)\big).
Substituindo \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}(3x-2y)\big)=3\cos(3x-2y) (feito no passo anterior) obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\ln 2\cdot 3\cos(3x-2y).

Passo 5

Simplificando a escrita, ficamos com
\frac{\partial f}{\partial x}=3\ln 2\;2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\cos(3x-2y).

Passo 6

Agora a derivada em relação a y, aplicando a mesma ideia:
\frac{\partial f}{\partial y}=2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\ln 2\;\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sen}(3x-2y)\big).
Usando \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sen}(3x-2y)\big)=-2\cos(3x-2y), obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\ln 2\cdot(-2)\cos(3x-2y).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3\ln 2\;2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\cos(3x-2y)\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-2\ln 2\;2^{\operatorname{sen}(3x-2y)}\cos(3x-2y)

Exercícios relacionados