Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
Enunciado: Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
O que é pedido:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas:
- A função é
, ou seja, o argumento do seno é o produto . - Não há restrições adicionais; suponha
e variáveis reais usuais.
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede como
muda quando
varia e
fica fixo. Analogamente,
mede a variação de
quando
varia e
fica fixo. Na prática, ao calcular
tratamos toda ocorrência de
como constante e vice-versa.
Exemplo rápido e intuitivo: se
, então
porque
é constante ao derivar em relação a
; e
porque
é constante ao derivar em relação a
.
Passo 3
A regra que vamos usar (cadeia): quando temos uma função composta
onde
depende de
e
, a derivada parcial segue a regra da cadeia:
Aqui
é a derivada da função externa em relação a
. No nosso caso,
e
.
Lembrete da derivada do seno: para uma função de uma variável
,
. Então, no contexto da regra da cadeia,
.
Passo 4
Aplicando ao cálculo de
:
-
Identificamos
. Ao derivar em relação a com fixo, porque . -
A derivada da parte externa é
. -
Pela regra da cadeia:
Podemos reescrever de forma habitual como
Passo 5
Aplicando ao cálculo de
:
-
Agora
e ao derivar em relação a com fixo, porque . -
A derivada da parte externa continua sendo
. -
Pela regra da cadeia:
Ou seja,
Passo 6
Dicas para a prova e armadilhas comuns:
- Não tente derivar
quando estiver fazendo ; trate como constante. - Lembre-se sempre: primeiro derivada da função externa (aqui seno → cosseno), depois multiplica pela derivada do argumento (aqui
→ ou ). - Se quiser verificar, escolha um ponto (por exemplo
) e calcule numericamente as duas formas; deve bater.