Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
z=\operatorname{sen}(x . y)

Passo 1

Enunciado: Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \displaystyle z=\operatorname{sen}\bigl(x\cdot y\bigr).
O que é pedido:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle z=\operatorname{sen}\bigl(xy\bigr), ou seja, o argumento do seno é o produto \displaystyle xy.
  • Não há restrições adicionais; suponha x e y variáveis reais usuais.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de z em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, mede como z muda quando x varia e y fica fixo. Analogamente, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} mede a variação de z quando y varia e x fica fixo. Na prática, ao calcular \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} tratamos toda ocorrência de y como constante e vice-versa.
Exemplo rápido e intuitivo: se z=x^2y, então \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy porque y é constante ao derivar em relação a x; e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x^2 porque x^2 é constante ao derivar em relação a y.

Passo 3

A regra que vamos usar (cadeia): quando temos uma função composta \displaystyle z=f(u(x,y)) onde u depende de x e y, a derivada parcial segue a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui f'(u) é a derivada da função externa em relação a u. No nosso caso, f(u)=\operatorname{sen}(u) e u(x,y)=xy.
Lembrete da derivada do seno: para uma função de uma variável u, \displaystyle \frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u). Então, no contexto da regra da cadeia, f'(u)=\cos(u).

Passo 4

Aplicando ao cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}:
  1. Identificamos u(x,y)=xy. Ao derivar em relação a x com y fixo, \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=y porque \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x)=y.
  2. A derivada da parte externa é f'(u)=\cos(u)=\cos(xy).
  3. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(xy)\cdot y.
Podemos reescrever de forma habitual como
\frac{\partial z}{\partial x}=y\cos(xy).

Passo 5

Aplicando ao cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}:
  1. Agora u(x,y)=xy e ao derivar em relação a y com x fixo, \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=x porque \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
  2. A derivada da parte externa continua sendo \cos(u)=\cos(xy).
  3. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(xy)\cdot x.
Ou seja,
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cos(xy).

Passo 6

Dicas para a prova e armadilhas comuns:
  • Não tente derivar y quando estiver fazendo \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}; trate y como constante.
  • Lembre-se sempre: primeiro derivada da função externa (aqui seno → cosseno), depois multiplica pela derivada do argumento (aqui xy y ou x).
  • Se quiser verificar, escolha um ponto (por exemplo (x,y)=(\pi,1)) e calcule numericamente as duas formas; deve bater.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y\cos(xy)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x\cos(xy)

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