Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=\frac{x+y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.
Informações relevantes dadas:
\text{função } f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}\quad\text{com domínio onde }x\neq y.çãí
Perguntas que preciso responder: calcular
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

Lembrando a definição útil: para derivada parcial em relação a x tratamos y como constante, e para derivada parcial em relação a y tratamos x como constante. Uma regra prática que usamos aqui é a regra do quociente (a mesma do caso unidimensional, aplicada mantendo a outra variável fixa). Se tivermos
g(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
então, ao derivar em relação a x,
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2},
onde u_x=\frac{\partial u}{\partial x} e v_x=\frac{\partial v}{\partial x}. A interpretação é simples: diferenciamos numerador e denominador em relação à variável escolhida, tratando a outra como constante, e aplicamos a fórmula acima.

Passo 3

Identifico numerador e denominador:
u(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=x-y.
Calculo as derivadas parciais necessárias para \partial/\partial x:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
Agora aplico a regra do quociente para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{1\cdot (x-y) - (x+y)\cdot 1}{(x-y)^2}.
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
1\cdot (x-y) - (x+y)\cdot 1 = x-y - x - y = -2y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{-2y}{(x-y)^2}.

Passo 4

Agora calculo as derivadas parciais necessárias para \partial/\partial y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1.
Aplico a regra do quociente para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{1\cdot (x-y) - (x+y)\cdot (-1)}{(x-y)^2}.
Simplifico o numerador:
1\cdot (x-y) - (x+y)\cdot (-1)=x-y + x + y = 2x.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x}{(x-y)^2}.

Passo 5

Resumo rápido da técnica (para a prova): identifique numerador u e denominador v, calcule u_\text{var} e v_\text{var} tratando a outra variável como constante, e aplique
\frac{\partial}{\partial \text{var}}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_{\text{var}}\,v - u\,v_{\text{var}}}{v^2}.
Um pequeno exemplo extra para fixar: se g(x,y)=\dfrac{x^2+y}{x-y}, ao calcular \partial g/\partial x você faria u=x^2+y com u_x=2x e v=x-y com v_x=1, e seguiria a mesma fórmula.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{-2y}{(x-y)^2}\n \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x}{(x-y)^2}

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