Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes dadas:
Perguntas que preciso responder: calcular
Passo 2
Lembrando a definição útil: para derivada parcial em relação a
tratamos
como constante, e para derivada parcial em relação a
tratamos
como constante. Uma regra prática que usamos aqui é a regra do quociente (a mesma do caso unidimensional, aplicada mantendo a outra variável fixa). Se tivermos
então, ao derivar em relação a
,
onde
e
. A interpretação é simples: diferenciamos numerador e denominador em relação à variável escolhida, tratando a outra como constante, e aplicamos a fórmula acima.
Passo 3
Identifico numerador e denominador:
Calculo as derivadas parciais necessárias para
:
Agora aplico a regra do quociente para
:
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
Portanto
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais necessárias para
:
Aplico a regra do quociente para
:
Simplifico o numerador:
Logo
Passo 5
Resumo rápido da técnica (para a prova): identifique numerador
e denominador
, calcule
e
tratando a outra variável como constante, e aplique
Um pequeno exemplo extra para fixar: se
, ao calcular
você faria
com
e
com
, e seguiria a mesma fórmula.