Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, t)=\sqrt{x} \ln (t)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,t)=\sqrt{x}\,\ln(t).
Informações dadas e condições relevantes:
  • A função é dada por \sqrt{x} multiplicada por \ln(t).
  • Para que \sqrt{x} esteja definida precisamos de x\ge 0.
  • Para que \ln(t) esteja definida precisamos de t>0.
  • As derivadas parciais solicitadas são \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial t}.
    Não vou resolver nada ainda — só organizei o que o problema dá e o que ele pede.

Passo 2

O que significa “derivada parcial”? Vou explicar de um jeito direto: a derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x muda e t fica fixo (constante). Analogamente, a derivada parcial em relação a t é a taxa de variação quando só t muda e x fica fixo. Em notação:
\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}\quad\text{(com \(t\) fixo)},
\frac{\partial f}{\partial t}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,t+h)-f(x,t)}{h}\quad\text{(com \(x\) fixo)}.
Na prática, ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} tratamos \ln(t) como constante, e ao calcular \dfrac{\partial}{\partial t} tratamos \sqrt{x} como constante.

Passo 3

Vamos lembrar a regra básica de derivação que vou usar nos cálculos:
  • Regra do produto (quando necessário): se u(x) depende só de x e v(t) depende só de t, então ao derivar em relação a x temos \dfrac{\partial}{\partial x}[u(x)\,v(t)]=u'(x)\,v(t) porque v(t) é constante. De forma análoga, ao derivar em relação a t temos \dfrac{\partial}{\partial t}[u(x)\,v(t)]=u(x)\,v'(t).
  • Regra da potência (para x^{n}): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, válida para qualquer expoente n. Em particular, para n=\tfrac{1}{2} (que corresponde à raiz quadrada) obtemos a derivada de \sqrt{x}=x^{1/2} como:
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dt}\ln(t)=\dfrac{1}{t} para t>0.

Passo 4

Agora calculo a derivada parcial em relação a x. Tratando \ln(t) como constante, e usando que \sqrt{x}=x^{1/2} e sua derivada é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, temos:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)\cdot \ln(t) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\;\ln(t).
Aqui expliquei cada passo: derivei x^{1/2} com a regra da potência e mantive \ln(t) multiplicando, pois é constante quando diferenciamos em relação a x.

Passo 5

Condição de validade do resultado anterior: a expressão \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ln(t) faz sentido para x>0 e t>0. Em x=0 a derivada em relação a x não é finita (a expressão tende a infinito), então não podemos afirmar que a derivada parcial existe e é finita em x=0.

Passo 6

Agora calculo a derivada parcial em relação a t. Tratando \sqrt{x} como constante e usando \dfrac{d}{dt}\ln(t)=\dfrac{1}{t}, obtemos:
\frac{\partial f}{\partial t} = \sqrt{x}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\ln(t)\bigr) = \sqrt{x}\cdot\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{x}}{t}.
Novamente, esse resultado é válido para t>0. Para x basta x\ge 0 para \sqrt{x} existir, mas para a derivada em t ser finita não há problema em x=0 (a expressão fica 0 se x=0).

Passo 7

Pequeno resumo didático e encorajamento: em questões parecidas, um truque rápido é identificar quais fatores dependem da variável que você está derivando e tratá-los como variáveis; tudo o que depende só da outra variável é constante na diferenciação parcial. Aqui foi simples porque cada fator depende de uma variável diferente. Você mandou bem ao escolher praticar com exercícios — continue assim que melhora rápido!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\ln(t)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\sqrt{x}}{t}

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