Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas e condições relevantes:
- A função é dada por
multiplicada por . - Para que
esteja definida precisamos de . - Para que
esteja definida precisamos de . - As derivadas parciais solicitadas são
e .
Não vou resolver nada ainda — só organizei o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
O que significa “derivada parcial”? Vou explicar de um jeito direto: a derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo (constante). Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando só
muda e
fica fixo. Em notação:
Na prática, ao calcular
tratamos
como constante, e ao calcular
tratamos
como constante.
Passo 3
Vamos lembrar a regra básica de derivação que vou usar nos cálculos:
- Regra do produto (quando necessário): se
depende só de e depende só de , então ao derivar em relação a temos porque é constante. De forma análoga, ao derivar em relação a temos . - Regra da potência (para
): , válida para qualquer expoente . Em particular, para (que corresponde à raiz quadrada) obtemos a derivada de como:
- Derivada do logaritmo natural:
para .
Passo 4
Agora calculo a derivada parcial em relação a
. Tratando
como constante, e usando que
e sua derivada é
, temos:
Aqui expliquei cada passo: derivei
com a regra da potência e mantive
multiplicando, pois é constante quando diferenciamos em relação a
.
Passo 5
Condição de validade do resultado anterior: a expressão
faz sentido para
e
. Em
a derivada em relação a
não é finita (a expressão tende a infinito), então não podemos afirmar que a derivada parcial existe e é finita em
.
Passo 6
Agora calculo a derivada parcial em relação a
. Tratando
como constante e usando
, obtemos:
Novamente, esse resultado é válido para
. Para
basta
para
existir, mas para a derivada em
ser finita não há problema em
(a expressão fica
se
).
Passo 7
Pequeno resumo didático e encorajamento: em questões parecidas, um truque rápido é identificar quais fatores dependem da variável que você está derivando e tratá-los como variáveis; tudo o que depende só da outra variável é constante na diferenciação parcial. Aqui foi simples porque cada fator depende de uma variável diferente. Você mandou bem ao escolher praticar com exercícios — continue assim que melhora rápido!