Os Exercícios 39-41 pedem a determinação da equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
no ponto
.
Informações dadas:
O que devemos entregar: a equação do plano tangente à superfície em
.
Passo 2
Conceito-chave (explicado com calma): se uma superfície é dada implicitamente por
, então o vetor gradiente
no ponto
é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. O plano tangente em
é exatamente o plano que tem esse vetor normal.
Definição do gradiente:
Cada componente
significa: “derivar
em relação a
, tratando
e
como constantes”. Por exemplo, se
, então
porque a derivada de
é
e sobra o fator
.
Fórmula do plano tangente usando o gradiente: se
, então a equação do plano tangente em
é
Isto é um produto escalar que traduz a condição de perpendicularidade.
Passo 3
Vamos calcular
para a nossa função
Calcule as derivadas parciais uma a uma (mostrando passo a passo):
- Derivando em relação a
: , (porque não depende de ), . Logo
- Derivando em relação a
: , , . Logo
- Derivando em relação a
: , , . Logo
Portanto
Passo 4
Avalie o gradiente no ponto
:
Esse é o vetor normal ao plano tangente em
. Agora aplicamos a fórmula do plano tangente:
Faça o produto escalar e simplifique:
Dividindo ambos os lados por
(dividir por escalar não altera o plano):
Reorganizando:
Passo 5
Verificação alternativa (útil para prova): como
, localmente podemos escrever
como função de
(teorema da função implícita) e calcular derivadas parciais via diferenciação implícita:
No ponto
temos
,
,
, então
e
. A forma do plano tangente então é
o que ao rearranjar também dá
. Assim confirmamos que o resultado é consistente por dois caminhos.