Os Exercícios 39-41 pedem a determinação da equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.
x y+y z+z x=1, \quad(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
x y + y z + z x = 1
no ponto (1,1,1).
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Superfície:}\quad F(x,y,z)=x y + y z + z x - 1 = 0,\\\ &\text{Ponto onde queremos o plano tangente:}\quad P=(1,1,1). \end{aligned}í
O que devemos entregar: a equação do plano tangente à superfície em P.

Passo 2

Conceito-chave (explicado com calma): se uma superfície é dada implicitamente por \,F(x,y,z)=0, então o vetor gradiente \nabla F no ponto P é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. O plano tangente em P é exatamente o plano que tem esse vetor normal.
Definição do gradiente:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\;\frac{\partial F}{\partial y},\;\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Cada componente \frac{\partial F}{\partial x} significa: “derivar F em relação a x, tratando y e z como constantes”. Por exemplo, se F(x,y,z)=xy, então \partial F/\partial x=y porque a derivada de x é 1 e sobra o fator y.
Fórmula do plano tangente usando o gradiente: se \nabla F(P)\neq(0,0,0), então a equação do plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0) é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0)=0.
Isto é um produto escalar que traduz a condição de perpendicularidade.

Passo 3

Vamos calcular \nabla F para a nossa função
F(x,y,z)=x y + y z + z x - 1.
Calcule as derivadas parciais uma a uma (mostrando passo a passo):
  • Derivando em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y, \frac{\partial}{\partial x}(y z)=0 (porque y z não depende de x), \frac{\partial}{\partial x}(z x)=z. Logo
\frac{\partial F}{\partial x}=y+z.
  • Derivando em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}(x y)=x, \frac{\partial}{\partial y}(y z)=z, \frac{\partial}{\partial y}(z x)=0. Logo
\frac{\partial F}{\partial y}=x+z.
  • Derivando em relação a z: \frac{\partial}{\partial z}(x y)=0, \frac{\partial}{\partial z}(y z)=y, \frac{\partial}{\partial z}(z x)=x. Logo
\frac{\partial F}{\partial z}=x+y.
Portanto
\nabla F(x,y,z)=(y+z,\;x+z,\;x+y).

Passo 4

Avalie o gradiente no ponto P=(1,1,1):
\nabla F(1,1,1)=(1+1,\;1+1,\;1+1)=(2,2,2).
Esse é o vetor normal ao plano tangente em P. Agora aplicamos a fórmula do plano tangente:
(2,2,2)\cdot (x-1,\;y-1,\;z-1)=0.
Faça o produto escalar e simplifique:
2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0.
Dividindo ambos os lados por 2 (dividir por escalar não altera o plano):
(x-1)+(y-1)+(z-1)=0.
Reorganizando:
x+y+z=3.

Passo 5

Verificação alternativa (útil para prova): como \frac{\partial F}{\partial z}(1,1,1)=1+1=2\neq 0, localmente podemos escrever z como função de x,y (teorema da função implícita) e calcular derivadas parciais via diferenciação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.
No ponto P temos F_x=2, F_y=2, F_z=2, então \partial z/\partial x=-1 e \partial z/\partial y=-1. A forma do plano tangente então é
z-1 = (-1)(x-1)+(-1)(y-1),
o que ao rearranjar também dá x+y+z=3. Assim confirmamos que o resultado é consistente por dois caminhos.

Resposta

x+y+z=3

Exercícios relacionados