Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y)=x^{2} y+x y^{2} ;(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^{2}y + x\,y^{2}
no ponto (1,2). Para isso, vamos aplicar a definição de derivada parcial, tratando uma variável como constante e usando as regras de produto e potência.

Passo 2

Para obter \partial f/\partial x, fixamos y como constante. Temos duas parcelas:
  • A derivada de x^{2}y em relação a x é 2x\,y.
  • A derivada de x\,y^{2} em relação a x é y^{2}.
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x\,y + y^{2}.

Passo 3

Para obter \partial f/\partial y, fixamos x como constante. Novamente em duas parcelas:
  • A derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}.
  • A derivada de x\,y^{2} em relação a y é 2x\,y.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^{2} + 2x\,y.

Passo 4

Agora substituímos (x,y)=(1,2) nas duas expressões:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = 2\cdot1\cdot2 + 2^{2} = 4 + 4 = 8,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = 1^{2} + 2\cdot1\cdot2 = 1 + 4 = 5.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=8,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=5.

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