Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y, z)=x e^{y / z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x\,e^{y/z}.
O conteúdo aqui são derivadas parciais em várias variáveis, e vamos usar regra do produto quando derivamos em relação a x (pois f é produto de x por e^{y/z}) e regra da cadeia para as derivadas em relação a y e z (pois há a composição y/z no expoente).

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes. Como
f(x,y,z)=x\cdot e^{y/z},
aplicamos a regra do produto e obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =1\cdot e^{y/z} =e^{y/z}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes. Escrevendo
f(x,y,z)=x\;e^{\,y/z},
a derivada de e^{y/z} em relação a y é e^{y/z}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(y/z). Como \frac{\partial}{\partial y}(y/z)=1/z, resulta
\frac{\partial f}{\partial y} =x\;e^{y/z}\;\frac{1}{z} =\frac{x}{z}\,e^{y/z}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes. Novamente temos
f(x,y,z)=x\;e^{\,y/z},
e usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}e^{y/z} =e^{y/z}\;\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y/z\bigr).
Como \frac{\partial}{\partial z}(y/z)=-y/z^2, obtemos
\frac{\partial f}{\partial z} =x\;e^{y/z}\;\bigl(-\frac{y}{z^2}\bigr) =-\frac{x\,y}{z^2}\,e^{y/z}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y/z}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{z}\,e^{y/z}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{x\,y}{z^2}\,e^{y/z}.

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