Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
g(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}; (3,4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} no ponto (3,4).
Vamos usar diferenciação parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Para obter \frac{\partial g}{\partial x}, note que
g(x,y)=(x^2+y^2)^{\tfrac12}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac12\,(x^2+y^2)^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

De forma análoga, para \frac{\partial g}{\partial y} temos:
\frac{\partial g}{\partial y} = \frac12\,(x^2+y^2)^{-\tfrac12}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 4

Agora avaliamos em (3,4). Primeiro,
\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = 5.
Logo,
\frac{\partial g}{\partial x}(3,4) = \frac{3}{5}, \quad \frac{\partial g}{\partial y}(3,4) = \frac{4}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(3,4)=\tfrac{3}{5}, \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(3,4)=\tfrac{4}{5}.

Exercícios relacionados