Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função no ponto dado.
f(x, y)=x \sqrt{y}+y^{2} ;(2,1)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x\sqrt{y}+y^2
no ponto (2,1).
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial, tratando uma variável como constante e aplicando regra do produto e cadeia quando necessário.

Passo 2

Para obter \frac{\partial f}{\partial x}, consideramos y como constante. A derivada de x\sqrt{y} em relação a x é \sqrt{y} e a de y^2 é zero. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{y}.

Passo 3

Para obter \frac{\partial f}{\partial y}, consideramos x como constante. Aplicando a regra do produto e do cadeia, temos derivada de x\sqrt{y}=x\cdot y^{1/2} igual a
x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{x}{2\sqrt{y}},
e derivada de y^2 igual a 2y. Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x}{2\sqrt{y}}+2y.

Passo 4

Avaliaremos agora em (x,y)=(2,1).
Para \frac{\partial f}{\partial x}(2,1): \sqrt{1}=1.
Para \frac{\partial f}{\partial y}(2,1):
\frac{2}{2\cdot1}+2\cdot1 =1+2 =3.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=1 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=3

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