Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
z=\cos \left(x^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
z = \cos\bigl(x^2 y\bigr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e a y. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e usamos a regra da cadeia. Defina
u(x,y) = x^2 y.
Então
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{du}\bigl[\cos(u)\bigr]\bigg|_{u=x^2y}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = -\sin\bigl(x^2y\bigr)\cdot \bigl(2x\,y\bigr).

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante e usamos novamente a regra da cadeia com a mesma u(x,y). Temos
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d}{du}\bigl[\cos(u)\bigr]\bigg|_{u=x^2y}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = -\sin\bigl(x^2y\bigr)\cdot \bigl(x^2\bigr).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -2\,x\,y\,\sin\bigl(x^2y\bigr),
\frac{\partial z}{\partial y} = -x^2 \,\sin\bigl(x^2y\bigr).

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