Encontre o valor de a para que a função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x-y-2 \sqrt{x}-2 \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a-4 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
seja contínua em (0,0).

Passo 1

Temos a função definida em x,y\ge0\) por \[f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x-y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] a-4,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Queremos determinar a\] para que \(f seja contínua em (0,0). Isso exige calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e igualar ao valor f(0,0)=a-4.]

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, fazemos a substituição
u=\sqrt{x},\quad v=\sqrt{y}.
Assim x=u^2, y=v^2 e, quando (x,y)\neq(0,0) (isto é u+v\neq0), a expressão de f fica
f(x,y)=\frac{u^2 - v^2 - 2u - 2v}{u+v}.

Passo 3

No numerador fatoramos:
u^2 - v^2 - 2u - 2v = (u+v)(u-v) - 2(u+v) = (u+v)\bigl(u - v - 2\bigr).
Cancelando o fator comum u+v\neq0, obtemos
f(x,y)=u - v - 2 = \sqrt{x} - \sqrt{y} - 2.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0) temos u,v\to0, portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0 - 0 -2 = -2.

Passo 5

Para que f seja contínua em (0,0), é preciso
a - 4 = \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = -2.
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a = 2.

Resposta

a=2

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