Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=\left(e{x}+e{y}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y)=\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{5}.
Vamos usar o conceito de derivada parcial e a regra da cadeia, além de saber que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, definimos u = e^{x}+e^{y} e escrevemos f = u^{5}. Aplicando a regra da cadeia, temos:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = 5\,u^{4}\cdot e^{x} = 5\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{4}e^{x}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, usamos o mesmo u = e^{x}+e^{y} e obtemos:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{df}{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = 5\,u^{4}\cdot e^{y} = 5\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{4}e^{y}.

Resposta

\displaystyle f_x(x,y) = 5\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{4}e^{x}. \displaystyle f_y(x,y) = 5\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)^{4}e^{y}.

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