Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x \ln (y)+y \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x\ln(y)+y\ln(x)
definida para x>0 e y>0. Para isso vamos usar que, ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante, aplicando as regras de derivação de um produto e a regra da cadeia para \ln(\cdot).

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
– A parte x\ln(y): como \ln(y) é constante em x, sua derivada é \ln(y).
– A parte y\ln(x): aqui y é constante, e a derivada de \ln(x) é 1/x, logo obtemos y\cdot\frac{1}{x}.
Somando os dois resultados,
\frac{\partial f}{\partial x} =\ln(y)+\frac{y}{x}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
– A parte x\ln(y): agora x é constante, e a derivada de \ln(y) é 1/y, resultando em x\cdot\frac{1}{y}.
– A parte y\ln(x): como \ln(x) é constante em y, sua derivada é \ln(x).
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x}{y}+\ln(x).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \ln(y) + \frac{y}{x} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y} + \ln(x)

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