Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=e^{x y+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=e^{xy+1} e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e a y. Vamos usar a regra da cadeia para diferenciar uma exponencial cuja base é uma função de x e y.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante. Seja
g(x,y)=xy+1.
Aplicando a regra da cadeia em f(x,y)=e^{g(x,y)}, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}e^{g(x,y)} =e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =e^{xy+1}\cdot y.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Seja
h(x,y)=xy+1.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}e^{h(x,y)} =e^{h(x,y)}\cdot\frac{\partial h}{\partial y} =e^{xy+1}\cdot x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{xy+1}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{xy+1}.

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