Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
f(x, y)=x \sqrt{1+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x\sqrt{1+y^{2}}\,.
Aqui o conteúdo envolve derivada parcial, que significa derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante, e para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante. Como
f(x,y)=x\cdot\sqrt{1+y^{2}},
vemos que \sqrt{1+y^{2}} é constante em relação a x. Logo, pela derivada de x (que é 1) multiplicada pela constante, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{1+y^{2}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Escrevendo
f(x,y)=x\,(1+y^{2})^{\tfrac12},
podemos fatorar x e aplicar a regra da cadeia em (1+y^{2})^{1/2}. Seja u=1+y^{2}, então
\frac{d}{dy}\bigl(u^{\tfrac12}\bigr)=\tfrac12\,u^{-\tfrac12}\cdot\frac{du}{dy} \quad\text{com}\quad\frac{du}{dy}=2y.
Portanto,
\frac{d}{dy}\bigl((1+y^{2})^{\tfrac12}\bigr) =\tfrac12\,(1+y^{2})^{-\tfrac12}\cdot2y =\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}.
Multiplicando pelo fator constante x, resulta
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x\;\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} =\frac{x\,y}{\sqrt{1+y^{2}}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{1+y^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x\,y}{\sqrt{1+y^{2}}}

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