Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
h(r, s, t)=e^{r s t}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
h(r,s,t)=e^{r\,s\,t}.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial e aplicação da regra da cadeia para a função exponencial.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial h}{\partial r}, defina u=r\,s\,t. Como
\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}
e
\frac{\partial u}{\partial r}=s\,t,
pela regra da cadeia vem
\frac{\partial h}{\partial r} =e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial r} =s\,t\,e^{r\,s\,t}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial h}{\partial s}, note que u=r\,s\,t e
\frac{\partial u}{\partial s}=r\,t.
Logo,
\frac{\partial h}{\partial s} =e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial s} =r\,t\,e^{r\,s\,t}.

Passo 4

Para calcular \frac{\partial h}{\partial t}, observe que u=r\,s\,t e
\frac{\partial u}{\partial t}=r\,s.
Assim, pela regra da cadeia,
\frac{\partial h}{\partial t} =e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial t} =r\,s\,e^{r\,s\,t}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial r}=s\,t\,e^{r\,s\,t}, \displaystyle \frac{\partial h}{\partial s}=r\,t\,e^{r\,s\,t}, \displaystyle \frac{\partial h}{\partial t}=r\,s\,e^{r\,s\,t}.

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