Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
- calcular
; - calcular
.
Passo 2
O que é derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
é a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando apenas
varia e
fica fixo. Em símbolos:
A derivada parcial de
Na prática, para funções compostas como a nossa, usamos regra da cadeia e regras básicas (regra do produto e regra do poder).
Passo 3
Observação útil: é prático definir uma função intermediária
de modo que
Assim podemos aplicar a regra da cadeia: a derivada de
em relação a uma variável é
vezes a derivada de
em relação dessa variável.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada de
em relação a
(tratando
como constante):
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é (porque é constante e , logo ).
Portanto
Derivada de
em relação a
(tratando
como constante):
- derivada de
em relação a é (não depende de ); - derivada de
em relação a é (porque é constante).
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas de
.
Para
:
a regra da cadeia dá
a regra da cadeia dá
Substituindo
e
, obtemos
Para
:
a regra da cadeia dá
a regra da cadeia dá
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Podemos deixar as respostas na forma fatorada (útil para calcular valores sem expandir) ou expandir parcialmente se desejar. A forma fatorada já é bem compacta e correta:
Se for preciso, dá para expandir, mas na maioria das provas a forma fatorada é preferida porque mostra claramente a aplicação da cadeia.