Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
g(x, y)=\left(x^{2}+x y\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{3} e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
  • calcular \dfrac{\partial g}{\partial x};
  • calcular \dfrac{\partial g}{\partial y}.

Passo 2

O que é derivada parcial?
A derivada parcial de g em relação a x é a taxa de variação de g quando apenas x varia e y fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a y é a taxa de variação quando apenas y varia e x fica fixo. Em símbolos:
\frac{\partial g}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h},\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=\lim_{h\to0}\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h}.
Na prática, para funções compostas como a nossa, usamos regra da cadeia e regras básicas (regra do produto e regra do poder).

Passo 3

Observação útil: é prático definir uma função intermediária
u(x,y)=x^{2}+x y,
de modo que
g(x,y)=\bigl(u(x,y)\bigr)^{3}=u^{3}.
Assim podemos aplicar a regra da cadeia: a derivada de g=u^{3} em relação a uma variável é 3u^{2} vezes a derivada de u em relação dessa variável.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u(x,y)=x^{2}+x y.
Derivada de u em relação a x (tratando y como constante):
  • derivada de x^{2} em relação a x é 2x;
  • derivada de x y em relação a x é y (porque y é constante e \dfrac{d}{dx}(x)=1, logo \dfrac{d}{dx}(x y)=y).
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=2x+y.
Derivada de u em relação a y (tratando x como constante):
  • derivada de x^{2} em relação a y é 0 (não depende de y);
  • derivada de x y em relação a y é x (porque x é constante).
    Portanto
\frac{\partial u}{\partial y}=x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas de g.
Para \dfrac{\partial g}{\partial x}:
a regra da cadeia dá
\frac{\partial g}{\partial x}=3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo u=x^{2}+x y e \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x+y, obtemos
\frac{\partial g}{\partial x}=3\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}\,(2x+y).
Para \dfrac{\partial g}{\partial y}:
a regra da cadeia dá
\frac{\partial g}{\partial y}=3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo u=x^{2}+x y e \dfrac{\partial u}{\partial y}=x, obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}=3\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}\,x.

Passo 6

Podemos deixar as respostas na forma fatorada (útil para calcular valores sem expandir) ou expandir parcialmente se desejar. A forma fatorada já é bem compacta e correta:
\frac{\partial g}{\partial x}=3\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}(2x+y), \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=3x\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}.
Se for preciso, dá para expandir, mas na maioria das provas a forma fatorada é preferida porque mostra claramente a aplicação da cadeia.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=3\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}(2x+y)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=3x\bigl(x^{2}+x y\bigr)^{2}

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