Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - As incógnitas são
e .
O que é pedido: - Calcular
(derivada parcial em relação a , tratando como constante). - Calcular
(derivada parcial em relação a , tratando como constante).
Passo 2
Lembrete: definição prática de derivada parcial. Para uma função
,
onde
fica fixo; e
onde
fica fixo.
Outra ferramenta muito útil é a regra da cadeia: se com
diferenciável, então
Outra ferramenta muito útil é a regra da cadeia: se
Vou usar essa ideia porque é simples e direta para exponenciais compostas.
Passo 3
Escrever
como composição: defina
e
. Então
.
Sabendo que (derivada da exponencial) e que
Sabendo que
aplicando a regra da cadeia obtemos:
Passo 4
Para convencer melhor, mostro rapidamente a derivação da primeira usando a definição limite:
Usa-se o fato conhecido de limites
(aqui
). Portanto
o que bate com o resultado pela regra da cadeia. O mesmo raciocínio vale trocando o papel de
e
.
Passo 5
Interpretação prática para a prova: quando você vê
, trate o expoente
como uma única função interna. A derivada parcial em relação a uma das variáveis é a expoencial original multiplicada pela derivada da parte interna em relação dessa variável (ou seja, multiplicar por
ao derivar em relação a
, e por
ao derivar em relação a
).
Exemplo numérico rápido: em ,
Exemplo numérico rápido: em