Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
g(x, t)=e^{x t}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,t)=e^{x t} e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x,t)=e^{x t}.
  • As incógnitas são x e t.
    O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial g}{\partial x} (derivada parcial em relação a x, tratando t como constante).
  • Calcular \dfrac{\partial g}{\partial t} (derivada parcial em relação a t, tratando x como constante).

Passo 2

Lembrete: definição prática de derivada parcial. Para uma função g(x,t),
\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h,t)-g(x,t)}{h},
onde t fica fixo; e
\frac{\partial g}{\partial t}(x,t)=\lim_{h\to0}\frac{g(x,t+h)-g(x,t)}{h},
onde x fica fixo.
Outra ferramenta muito útil é a regra da cadeia: se g(x,t)=h(u(x,t)) com h diferenciável, então
\frac{\partial g}{\partial x}=h'(u)\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \frac{\partial g}{\partial t}=h'(u)\frac{\partial u}{\partial t}.
Vou usar essa ideia porque é simples e direta para exponenciais compostas.

Passo 3

Escrever g como composição: defina u(x,t)=x t e h(u)=e^{u}. Então g(x,t)=h(u(x,t)).
Sabendo que h'(u)=e^{u} (derivada da exponencial) e que
\frac{\partial u}{\partial x}=t\quad(\text{pois }u=xt\text{ e }t\text{ é tratado como constante}),é
\frac{\partial u}{\partial t}=x\quad(\text{pois }u=xt\text{ e }x\text{ é tratado como constante}),é
aplicando a regra da cadeia obtemos:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)=h'(u)\frac{\partial u}{\partial x}=e^{u}\cdot t=e^{x t}\,t,
\frac{\partial g}{\partial t}(x,t)=h'(u)\frac{\partial u}{\partial t}=e^{u}\cdot x=e^{x t}\,x.

Passo 4

Para convencer melhor, mostro rapidamente a derivação da primeira usando a definição limite:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)=\lim_{h\to0}\frac{e^{(x+h)t}-e^{xt}}{h} = e^{xt}\lim_{h\to0}\frac{e^{ht}-1}{h}.
Usa-se o fato conhecido de limites \lim_{h\to0}\dfrac{e^{a h}-1}{h}=a (aqui a=t). Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)=e^{xt}\cdot t,
o que bate com o resultado pela regra da cadeia. O mesmo raciocínio vale trocando o papel de x e t.

Passo 5

Interpretação prática para a prova: quando você vê e^{x t}, trate o expoente x t como uma única função interna. A derivada parcial em relação a uma das variáveis é a expoencial original multiplicada pela derivada da parte interna em relação dessa variável (ou seja, multiplicar por t ao derivar em relação a x, e por x ao derivar em relação a t).
Exemplo numérico rápido: em (x,t)=(1,2),
\frac{\partial g}{\partial x}(1,2)=2e^{2},\qquad \frac{\partial g}{\partial t}(1,2)=1\cdot e^{2}=e^{2}.

Resposta

\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,t)=t\,e^{x t}
\dfrac{\partial g}{\partial t}(x,t)=x\,e^{x t}

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