Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções.
G(r, s)=\int_{r}^{s} \sqrt{t^{3}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
G(r,s)=\int_{r}^{s}\sqrt{t^{3}+1}\,dt
Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites que dependem de variáveis.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial G}{\partial s}, tratamos r como constante e diferenciamos em relação a s. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de \int_{r}^{s}f(t)\,dt é simplesmente f(s). Aqui f(t)=\sqrt{t^{3}+1}, logo
\frac{\partial G}{\partial s} =\sqrt{s^{3}+1}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial G}{\partial r}, tratamos s como constante e diferenciamos em relação a r. Quando a variável aparece como limite inferior, há um sinal negativo:
\frac{\partial}{\partial r}\int_{r}^{s}f(t)\,dt =-\,f(r).
Portanto, usando f(r)=\sqrt{r^{3}+1}, obtemos
\frac{\partial G}{\partial r} =-\sqrt{r^{3}+1}.

Resposta

\frac{\partial G}{\partial r}=-\sqrt{r^{3}+1}, \qquad \frac{\partial G}{\partial s}=\sqrt{s^{3}+1}.

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