Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções.
u=x y \arcsin (y z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
u = x\,y\,\arcsin(yz).
Para resolver, vamos usar a regra do produto (quando temos produtos de funções) e a regra da cadeia (para derivar \arcsin(\cdot)), sabendo que
\frac{d}{dw}\arcsin(w) = \frac{1}{\sqrt{1 - w^2}}.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, tratamos y\,\arcsin(yz) como constante em relação a x. Logo,
\frac{\partial u}{\partial x} = y\,\arcsin(yz).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}, aplicamos a regra do produto a x\,y e \arcsin(yz):
derivada de x\,y em relação a y é x, e derivada de \arcsin(yz) em relação a y é
\frac{1}{\sqrt{1-(yz)^2}}\cdot z.
Portanto,
\frac{\partial u}{\partial y} = x\;\arcsin(yz) \;+\; x\,y\;\frac{z}{\sqrt{1 - y^2 z^2}}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}, x\,y é constante, e usamos a regra da cadeia em \arcsin(yz):
\frac{d}{dz}\arcsin(yz) = \frac{1}{\sqrt{1-(yz)^2}}\cdot y.
Logo,
\frac{\partial u}{\partial z} = x\,y\;\frac{y}{\sqrt{1 - y^2 z^2}} = \frac{x\,y^2}{\sqrt{1 - y^2 z^2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = y\,\arcsin(yz) \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = x\,\arcsin(yz) + \frac{x\,y\,z}{\sqrt{1 - y^2 z^2}} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{x\,y^2}{\sqrt{1 - y^2 z^2}}

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