Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y)=y e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=y e^x. Vamos usar noções de derivada parcial em funções de duas variáveis: ao derivar em relação a x, y é constante; ao derivar em relação a y, x é constante.

Passo 2

Calcular f_x. Trato y como constante e uso a regra da derivada de e^x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(y e^x) = y \frac{d}{dx}(e^x) = y e^x.

Passo 3

Calcular f_y. Trato x como constante e tenho derivada de y:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(y e^x) = e^x \frac{d}{dy}(y) = e^x.

Passo 4

Calcular as derivadas de segunda ordem a partir de f_x. Primeiro f_{xx} derivando f_x em relação a x, depois f_{xy} derivando f_x em relação a y:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(y e^x) = y e^x,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(y e^x) = e^x.

Passo 5

Calcular as derivadas de segunda ordem a partir de f_y. Primeiro f_{yx} derivando f_y em relação a x, depois f_{yy} derivando f_y em relação a y:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x) = e^x,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x) = 0.

Resposta

f_x = y e^x f_y = e^x f_{xx} = y e^x f_{xy} = e^x f_{yx} = e^x f_{yy} = 0

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