Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y)=x-\ln (y).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x-\ln(y),
cujo domínio é \{(x,y)\mid y>0\}. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, em seguida, as de segunda ordem. Para isso usamos as regras básicas de derivação: a derivada de x em relação a x é 1, a derivada de termo constante em relação à variável é 0, e a derivada de \ln(y) em relação a y é 1/y.

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem:
- Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante. A derivada de x em x é 1 e a de -\ln(y) é 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=1.
- Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante. A derivada de x em relação a y é 0 e a de -\ln(y) é -1/y. Assim,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{1}{y}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem, derivando as parciais obtidas no Passo 2:
- \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(1\Bigr)=0.
- \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(1\Bigr)=0.
- \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac{1}{y}\Bigr)=0, pois -1/y não depende de x.
- \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\tfrac{1}{y}\Bigr)=\frac{1}{y^2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=1, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{1}{y}, \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0, \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0, \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=0, \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{1}{y^2}.

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