Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y, z)=x y z-5 x^{2} y^{3} z^{4}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y,z)=x\,y\,z \;-\;5\,x^{2}\,y^{3}\,z^{4}.
O conteúdo envolve definição de derivada parcial e aplicação das regras de potência e produto.

Passo 2

Para \displaystyle f_x diferenciamos em relação a x, tratando y e z como constantes.
Derivada de x\,y\,z é y\,z e de -5x^2y^3z^4 é -10x\,y^3z^4.
Logo
f_x(x,y,z)=y\,z \;-\;10\,x\,y^{3}\,z^{4}.

Passo 3

Para \displaystyle f_y diferenciamos em relação a y, tratando x e z como constantes.
Derivada de x\,y\,z é x\,z e de -5x^2y^3z^4 é -15x^{2}y^{2}z^{4}.
Logo
f_y(x,y,z)=x\,z \;-\;15\,x^{2}\,y^{2}\,z^{4}.

Passo 4

Para \displaystyle f_z diferenciamos em relação a z, tratando x e y como constantes.
Derivada de x\,y\,z é x\,y e de -5x^2y^3z^4 é -20x^{2}y^{3}z^{3}.
Logo
f_z(x,y,z)=x\,y \;-\;20\,x^{2}\,y^{3}\,z^{3}.

Passo 5

Agora as segundas parciais mistas e puras envolvendo derivação de f_x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(y\,z -10x\,y^3z^4)=-10\,y^3z^4,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(y\,z -10x\,y^3z^4)=z -30x\,y^2z^4,
f_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}(y\,z -10x\,y^3z^4)=y -40x\,y^3z^3.

Passo 6

Segundas parciais a partir de f_y e f_z:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(x\,z -15x^2y^2z^4)=-30\,x^2y\,z^4,
f_{yz}=\frac{\partial}{\partial z}(x\,z -15x^2y^2z^4)=x -60\,x^2y^2z^3,
f_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}(x\,y -20x^2y^3z^3)=-60\,x^2y^3z^2.

Resposta

f_x(x,y,z)=y\,z \;-\;10\,x\,y^{3}\,z^{4} f_y(x,y,z)=x\,z \;-\;15\,x^{2}\,y^{2}\,z^{4} f_z(x,y,z)=x\,y \;-\;20\,x^{2}\,y^{3}\,z^{3} f_{xx}(x,y,z)=-10\,y^{3}\,z^{4} f_{xy}(x,y,z)=z \;-\;30\,x\,y^{2}\,z^{4} f_{xz}(x,y,z)=y \;-\;40\,x\,y^{3}\,z^{3} f_{yy}(x,y,z)=-30\,x^{2}\,y\,z^{4} f_{yz}(x,y,z)=x \;-\;60\,x^{2}\,y^{2}\,z^{3} f_{zz}(x,y,z)=-60\,x^{2}\,y^{3}\,z^{2}

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