Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y, z)=\ln \left(3 x^{3}+4 y^{4}+5 z^{5}\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y,z)=\ln\bigl(3x^3+4y^4+5z^5\bigr).
O conteúdo principal é uso da regra da cadeia e da derivação de potências. Para facilitar, defina
U = 3x^3 + 4y^4 + 5z^5.

Passo 2

Cálculo das derivadas de primeira ordem usando \frac{d}{dx}\ln U = \frac{U'}{U}:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{U}\,\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{9x^2}{U},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{U}\,\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{16y^3}{U},
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{U}\,\frac{\partial U}{\partial z} = \frac{25z^4}{U}.

Passo 3

Derivadas de segunda ordem puras, aplicando a regra do quociente a cada parcial:
Para x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{9x^2}{U}\Bigr) = \frac{18x\,U - 9x^2\cdot 9x^2}{U^2} = \frac{18x\,U - 81x^4}{U^2}.
Para y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{16y^3}{U}\Bigr) = \frac{48y^2\,U - 16y^3\cdot 16y^3}{U^2} = \frac{48y^2\,U - 256y^6}{U^2}.
Para z:
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{25z^4}{U}\Bigr) = \frac{100z^3\,U - 25z^4\cdot 25z^4}{U^2} = \frac{100z^3\,U - 625z^8}{U^2}.

Passo 4

Derivadas de segunda ordem mistas, derivando cada parcial em relação a outra variável: \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{9x^2}{U}\Bigr) = -\frac{9x^2\cdot 16y^3}{U^2} = -\frac{144x^2y^3}{U^2}. \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}:
\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{9x^2}{U}\Bigr) = -\frac{9x^2\cdot 25z^4}{U^2} = -\frac{225x^2z^4}{U^2}. \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}:
\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{16y^3}{U}\Bigr) = -\frac{16y^3\cdot 25z^4}{U^2} = -\frac{400y^3z^4}{U^2}.

Resposta

Definindo U = 3x^3 + 4y^4 + 5z^5: \displaystyle f_x = \frac{9x^2}{U},\quad f_y = \frac{16y^3}{U},\quad f_z = \frac{25z^4}{U}. \displaystyle f_{xx} = \frac{18x\,U - 81x^4}{U^2},\quad f_{yy} = \frac{48y^2\,U - 256y^6}{U^2},\quad f_{zz} = \frac{100z^3\,U - 625z^8}{U^2}. \displaystyle f_{xy} = -\frac{144x^2y^3}{U^2},\quad f_{xz} = -\frac{225x^2z^4}{U^2},\quad f_{yz} = -\frac{400y^3z^4}{U^2}.

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