Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem
e
e as de segunda ordem
,
e
da função
O conteúdo aqui é aplicação das regras do produto e da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Calculamos
usando
Então
Pela regra do produto,
Passo 3
Analogamente, para
temos
Logo,
Passo 4
Para
derivamos
em
. Denotando
temos
.
Depois de aplicar produto e cadeia chega-se a
Depois de aplicar produto e cadeia chega-se a
Passo 5
Por simetria de troca
, obtém-se
Passo 6
Finalmente, para
derivamos
em
. Após cuidar dos termos de produto e cadeia, resulta