Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
z=\operatorname{sen}(x y) \cdot \cos (x+y).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} e as de segunda ordem \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} e \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} da função
z = \sin(xy)\,\cos(x+y).
O conteúdo aqui é aplicação das regras do produto e da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} usando
z = u(x,y)\,v(x,y) \quad\text{com}\quad u=\sin(xy),\quad v=\cos(x+y).
Então
\frac{\partial u}{\partial x} =\cos(xy)\,\frac{\partial (xy)}{\partial x} =y\cos(xy), \qquad \frac{\partial v}{\partial x} =-\sin(x+y)\,\frac{\partial (x+y)}{\partial x} =-\sin(x+y).
Pela regra do produto,
\frac{\partial z}{\partial x} =y\cos(xy)\,\cos(x+y) -\sin(xy)\,\sin(x+y).

Passo 3

Analogamente, para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} temos
\frac{\partial u}{\partial y} =\cos(xy)\,\frac{\partial(xy)}{\partial y} =x\cos(xy), \qquad \frac{\partial v}{\partial y} =-\sin(x+y)\,\frac{\partial(x+y)}{\partial y} =-\sin(x+y).
Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} =x\cos(xy)\,\cos(x+y) -\sin(xy)\,\sin(x+y).

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} derivamos \frac{\partial z}{\partial x} em x. Denotando
A(x,y)=y\cos(xy)\cos(x+y), \quad B(x,y)=\sin(xy)\sin(x+y),
temos \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial A}{\partial x}-\frac{\partial B}{\partial x}.
Depois de aplicar produto e cadeia chega-se a
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =-y^2\,\sin(xy)\,\cos(x+y) -2y\,\cos(xy)\,\sin(x+y) -\sin(xy)\,\cos(x+y).

Passo 5

Por simetria de troca x\leftrightarrow y, obtém-se
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =-x^2\,\sin(xy)\,\cos(x+y) -2x\,\cos(xy)\,\sin(x+y) -\sin(xy)\,\cos(x+y).

Passo 6

Finalmente, para \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} derivamos \frac{\partial z}{\partial x} em y. Após cuidar dos termos de produto e cadeia, resulta
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\cos(xy)\,\cos(x+y) -\sin(xy)\,\cos(x+y) -xy\,\sin(xy)\,\cos(x+y) -(x+y)\,\cos(xy)\,\sin(x+y).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} =y\cos(xy)\,\cos(x+y) -\sin(xy)\,\sin(x+y),
\frac{\partial z}{\partial y} =x\cos(xy)\,\cos(x+y) -\sin(xy)\,\sin(x+y),
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =-y^2\,\sin(xy)\,\cos(x+y) -2y\,\cos(xy)\,\sin(x+y) -\sin(xy)\,\cos(x+y),
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =-x^2\,\sin(xy)\,\cos(x+y) -2x\,\cos(xy)\,\sin(x+y) -\sin(xy)\,\cos(x+y),
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =\cos(xy)\,\cos(x+y) -\sin(xy)\,\cos(x+y) -xy\,\sin(xy)\,\cos(x+y) -(x+y)\,\cos(xy)\,\sin(x+y).

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