Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
z=(x-y)^{17}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
z = (x - y)^{17}.
O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções de duas variáveis e, em particular, a aplicação da regra da cadeia combinada com a regra da potência.

Passo 2

Para obter as derivadas parciais de primeira ordem, tratamos cada variável como a variável independente e a outra como constante:
– Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}:
A parte interna é u = x - y, então
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(u^{17}\bigr) = 17\,u^{16}\,\frac{\partial u}{\partial x} = 17\,(x - y)^{16}\cdot 1 = 17\,(x - y)^{16}.
– Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}:
Aqui \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{d}{dy}(x - y) = -1, logo
\frac{\partial z}{\partial y} = 17\,u^{16}\,\frac{\partial u}{\partial y} = 17\,(x - y)^{16}\cdot(-1) = -17\,(x - y)^{16}.

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter as parciais de segunda ordem:
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}: derivada de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=17\,(x - y)^{16} em relação a x:
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 17 \cdot 16\,(x - y)^{15}\cdot 1 = 272\,(x - y)^{15}.
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}: derivada de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=17\,(x - y)^{16} em relação a y:
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = 17 \cdot 16\,(x - y)^{15}\cdot(-1) = -272\,(x - y)^{15}.
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}: derivada de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-17\,(x - y)^{16} em relação a x:
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} = -17 \cdot 16\,(x - y)^{15}\cdot 1 = -272\,(x - y)^{15}.
\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}: derivada de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-17\,(x - y)^{16} em relação a y:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -17 \cdot 16\,(x - y)^{15}\cdot(-1) = 272\,(x - y)^{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=17\,(x - y)^{16}, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-17\,(x - y)^{16}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=272\,(x - y)^{15}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=-272\,(x - y)^{15}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=-272\,(x - y)^{15}, \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=272\,(x - y)^{15}.

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