Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- As variáveis independentes são
, e . -
é um parâmetro (constante) real. - A função é uma composição: primeiro forma-se
e depois aplica-se a função seno. - O objetivo: calcular
, e .
Passo 2
Lembrete da regra que vamos usar (cadeia e regra do produto/potência):
- Regra da cadeia (simples): se
e , então
Isto quer dizer: derivada do seno é cosseno multiplicada pela derivada do argumento.
- Regra do produto e da potência (caso apareça): se
com constante, então . Se , então .
Vou aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais: tratar a variável de diferenciação como variável e as outras como constantes.
Passo 3
Defino o argumento interno
Para cada derivada parcial precisarei de
,
e
. Vou calcular esses derivados parciais primeiro.
Passo 4
Cálculo de
.
Aqui
. Ao derivar em relação a
tratamos
,
e
como constantes. Assim:
Explicação:
aparece multiplicando constantes, então a derivada de
é
e o restante permanece multiplicando.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
.
Como
, pela regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Cálculo de
.
Pelo mesmo raciocínio (agora derivando em relação a
, com
constantes):
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para
.
Usando a regra da cadeia:
Substituindo os valores:
Passo 8
Cálculo de
.
Aqui
pode ser visto como
com
constante ao derivar em relação a
. Aplicando a regra da potência:
Passo 9
Aplicando a regra da cadeia para
.
Pela regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos