Determine as derivadas parciais com respeito a x, y e z das seguintes funções:
g(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(a x y z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y,z)=\sin\bigl(a x y z^{2}\bigr)
e pede as derivadas parciais de g em relação a x, y e z.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As variáveis independentes são x, y e z.
  • a é um parâmetro (constante) real.
  • A função é uma composição: primeiro forma-se u(x,y,z)=a x y z^{2} e depois aplica-se a função seno.
  • O objetivo: calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}, \dfrac{\partial g}{\partial y} e \dfrac{\partial g}{\partial z}.

Passo 2

Lembrete da regra que vamos usar (cadeia e regra do produto/potência):
  • Regra da cadeia (simples): se h(t)=\sin(t) e t=T(x), então
\frac{d}{dx}\sin\bigl(T(x)\bigr)=\cos\bigl(T(x)\bigr)\cdot T'(x).
Isto quer dizer: derivada do seno é cosseno multiplicada pela derivada do argumento.
  • Regra do produto e da potência (caso apareça): se T(x)=c\cdot x com c constante, então T'(x)=c. Se T(z)=z^{2}, então \dfrac{d}{dz}z^{2}=2z.
Vou aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais: tratar a variável de diferenciação como variável e as outras como constantes.

Passo 3

Defino o argumento interno
u(x,y,z)=a x y z^{2}.
Para cada derivada parcial precisarei de \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} e \dfrac{\partial u}{\partial z}. Vou calcular esses derivados parciais primeiro.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u=a\cdot x\cdot y\cdot z^{2}. Ao derivar em relação a x tratamos y, z e a como constantes. Assim:
\frac{\partial u}{\partial x}=a\cdot y\cdot z^{2}.
Explicação: x aparece multiplicando constantes, então a derivada de x é 1 e o restante permanece multiplicando.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Como g(x,y,z)=\sin\bigl(u(x,y,z)\bigr), pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial x}=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial x}=a y z^{2} e u=a x y z^{2}, obtemos
\frac{\partial g}{\partial x}=a y z^{2}\,\cos\bigl(a x y z^{2}\bigr).

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Pelo mesmo raciocínio (agora derivando em relação a y, com x,z,a constantes):
\frac{\partial u}{\partial y}=a\cdot x\cdot z^{2}=a x z^{2}.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial y}=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo os valores:
\frac{\partial g}{\partial y}=a x z^{2}\,\cos\bigl(a x y z^{2}\bigr).

Passo 8

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial z}.
Aqui u=a x y z^{2} pode ser visto como u=(a x y)\cdot z^{2} com a x y constante ao derivar em relação a z. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial u}{\partial z}=a x y\cdot 2z = 2a x y z.

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial z}.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial z}=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial z}.
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial z}=2a x y z e u=a x y z^{2}, obtemos
\frac{\partial g}{\partial z}=2a x y z\,\cos\bigl(a x y z^{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=a y z^{2}\,\cos\bigl(a x y z^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=a x z^{2}\,\cos\bigl(a x y z^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}=2a x y z\,\cos\bigl(a x y z^{2}\bigr)

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