4.9** (a) A força exercida por uma mola unidimensional, fixa por uma de suas extremidades, é F=-k x, onde x é o deslocamento da outra extremidade com relação ao seu ponto de equilíbrio. Assumindo que esta força é conservativa (o que de fato é), mostre que a energia potencial correspondente é U=\frac{1}{2} k x^{2} se escolhermos U como sendo zero na posição de equilibrio. (b) Suponha que essa mola esteja presa no teto e que tenha uma massa m pendurada na outra extremidade, e esteja compelida a mover-se apenas na direção vertical. Determine a distensão x_{0} do novo ponto de equilibrio com a massa suspensa. Mostre que a energia potencial total (mola mais gravidade) tem a mesma forma \frac{1}{2} k y^{2} se usarmos a coordenada y igual ao deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio \mathrm{em} x=x_{0} (e redefina o ponto de referência de modo que U=0 \mathrm{em} y=0 ).

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem daí pode ser usado depois).
  • Dados e definições fornecidas:
    • A mola unidimensional tem constante elástica k.
    • A força elástica (para pequenas deformações, lei de Hooke) é \;F = -k x\;, onde x é o deslocamento da extremidade móvel em relação à posição de equilíbrio da mola (posição na qual a mola não exerce força).
    • Na parte (b) a mola está presa no teto e uma massa m é pendurada na outra extremidade; a massa só pode mover-se verticalmente.
  • O que é pedido:
    • (a) Assumindo que a força \;F=-k x\; é conservativa, mostrar que a energia potencial associada pode ser escrita como \;U=\tfrac{1}{2}k x^{2}\; tomando U=0 na posição de equilíbrio original da mola.
    • (b) Com a massa m pendurada, determinar a distensão \;x_{0}\; do novo ponto de equilíbrio (com relação à posição de equilíbrio sem massa). Em seguida mostrar que, se definirmos y como deslocamento medido a partir desse novo equilíbrio ( y=0 em x=x_{0}) e redefinirmos a referência de energia potencial de modo que U=0 em y=0, a energia potencial total (mola + gravidade) fica da forma \tfrac{1}{2}k y^{2}.

Passo 2

Conceito chave (mini-aula): relação entre força conservativa e energia potencial.
  • Uma força F(x) unidimensional é conservativa se existe uma função U(x) (energia potencial) tal que
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
  • Isso significa que podemos recuperar U por integração:
U(x) = -\int F(x)\,dx + C,
onde C é uma constante arbitrária (referência zero da energia potencial). Cada termo aqui:
  • F(x): força ao longo da coordenada x,
  • U(x): energia potencial associada,
  • C: constante escolhida conforme referência (por exemplo U=0 em certa posição).

Passo 3

Aplicando a integração ao caso da mola (parte (a)).
  • Temos \;F(x) = -k x\;.
  • Usando a fórmula U(x) = -\int F(x)\,dx + C, substituímos:
U(x) = -\int (-k x)\,dx + C = \int k x\,dx + C.
  • Calcule a integral (aqui mostro o passo da integração):
\int k x\,dx = k\int x\,dx = k\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}k x^{2}.
  • Logo, antes de fixar a constante,
U(x) = \frac{1}{2}k x^{2} + C.
  • Agora escolhemos a referência pedida: tomar U=0 na posição de equilíbrio da mola, que é x=0. Substituindo x=0 em U e impondo U(0)=0
0 = \frac{1}{2}k\cdot 0^{2} + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Portanto, com essa escolha de referência,
U(x) = \frac{1}{2}k x^{2},
que é exatamente o resultado pedido em (a).
Comentário prático: essa é a energia elástica armazenada na mola quando ela está deslocada de sua posição de equilíbrio; é uma função quadrática em x, e por isso a mola é associada a um potencial quadrático.

Passo 4

Preparando a parte (b): escolher coordenadas e listar forças (mini-aula sobre sinais).
  • Vamos medir x como o deslocamento vertical para baixo a partir da posição de equilíbrio da mola sem massa (ou seja, x=0 é a posição em que a mola, sozinha, está sem deformação/força).
  • Forças que atuam na massa:
    • Peso para baixo: F_{\text{peso}} = +m g (positivo para baixo no nosso sinal).
    • Força elástica da mola para cima: F_{\text{mola}} = -k x (já dada; negativa porque aponta para cima quando x>0).
  • No equilíbrio estático, a soma das forças é zero:
F_{\text{total}} = F_{\text{peso}} + F_{\text{mola}} = 0.

Passo 5

Calcular a distensão x_{0} do novo ponto de equilíbrio.
  • Escrevendo a condição m g - k x_{0} = 0 (peso para baixo - força elástica para cima = 0) obtemos
k x_{0} = m g.
  • Portanto,
x_{0} = \frac{m g}{k}.
  • Interpretação física rápida: quanto mais pesada a massa ou menor a constante k, maior será a distensão no equilíbrio.

Passo 6

Escrever a energia potencial total (mola + gravidade) como função de x e verificar a forma em torno do novo equilíbrio.
  • Energia elástica da mola (usando resultado da parte (a) e tomando referência U_{\text{mola}}(0)=0):
U_{\text{mola}}(x) = \frac{1}{2}k x^{2}.
  • Energia potencial gravitacional: com x medido para baixo e escolhendo a referência de altura tal que U_{\text{grav}}(0)=0 inicialmente (isso é só uma escolha conveniente antes de redefinir), a variação de energia ao deslocar para baixo é negativa; seguindo a regra geral F_{\text{grav}} = -dU_{\text{grav}}/dx e sabendo que F_{\text{grav}}=+mg (para baixo), obtemos
\frac{dU_{\text{grav}}}{dx} = -mg \quad\Rightarrow\quad U_{\text{grav}}(x) = -m g x + C_{\text{grav}}.
  • Para simplicidade inicial podemos escolher C_{\text{grav}}=0 (referência tal que U_{\text{grav}}(0)=0); então
U_{\text{grav}}(x) = -m g x.
  • A energia potencial total é soma:
U_{\text{total}}(x) = U_{\text{mola}}(x) + U_{\text{grav}}(x) = \frac{1}{2}k x^{2} - m g x + C,
onde aqui escrevo C para lembrar que podemos ainda adicionar uma constante global de referência (vinda de C_{\text{grav}} ou de escolha posterior).
  • Observação importante: a condição de equilíbrio também pode ser obtida minimizando U_{\text{total}}(x). De fato,
\frac{dU_{\text{total}}}{dx} = k x - m g,
e impondo \frac{dU_{\text{total}}}{dx}=0 volta a dar x = x_{0}=mg/k, coerente com o passo anterior.

Passo 7

Mudar para a coordenada y medida a partir do novo ponto de equilíbrio e mostrar que a energia fica quadrática pura.
  • Defina
y \equiv x - x_{0},
ou seja, y é o deslocamento em relação ao novo equilíbrio ( y=0 corresponde a x=x_{0}).
  • Substitua x = y + x_{0} em U_{\text{total}}(x):
U_{\text{total}}(y) = \frac{1}{2}k(y + x_{0})^{2} - m g (y + x_{0}) + C.
  • Expanda os termos (mostrando cada passo):
\frac{1}{2}k(y + x_{0})^{2} = \frac{1}{2}k\bigl(y^{2} + 2x_{0}y + x_{0}^{2}\bigr) = \frac{1}{2}k y^{2} + k x_{0} y + \frac{1}{2}k x_{0}^{2},
e
- m g (y + x_{0}) = -m g y - m g x_{0}.
  • Somando tudo:
U_{\text{total}}(y) = \frac{1}{2}k y^{2} + k x_{0} y + \frac{1}{2}k x_{0}^{2} - m g y - m g x_{0} + C.
  • Combine os termos lineares em y. Note que k x_{0} - m g = 0 pela condição de equilíbrio k x_{0}=m g, então o coeficiente do termo linear em y é zero. Assim sobra:
U_{\text{total}}(y) = \frac{1}{2}k y^{2} + \left(\frac{1}{2}k x_{0}^{2} - m g x_{0} + C\right).
  • A expressão entre parênteses é uma constante (independente de y). Podemos escolher a constante de referência C de forma conveniente para que U_{\text{total}}(y=0)=0. Escolhendo C tal que
C = m g x_{0} - \frac{1}{2}k x_{0}^{2},
temos
U_{\text{total}}(y) = \frac{1}{2}k y^{2}.
  • Finalmente, substituindo x_{0}=\dfrac{m g}{k} se quisermos explicitar, a constante escolhida coincide e resulta em U_{\text{total}}(0)=0 e a expressão quadrática pura em y.
Interpretação física: depois de deslocar a referência para o novo equilíbrio, as pequenas oscilações da massa têm energia potencial elástica quadrática em y; isso mostra que o sistema se comporta como um oscilador harmônico simples com constante k.

Resposta

(a) U(x)=\dfrac{1}{2}k x^{2} (com U(0)=0).
(b) x_{0}=\dfrac{m g}{k} e U_{\text{total}}(y)=\dfrac{1}{2}k y^{2} (com y=x-x_{0} e escolhendo U=0 em y=0).

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