4.9** (a) A força exercida por uma mola unidimensional, fixa por uma de suas extremidades, é
, onde
é o deslocamento da outra extremidade com relação ao seu ponto de equilíbrio. Assumindo que esta força é conservativa (o que de fato é), mostre que a energia potencial correspondente é
se escolhermos
como sendo zero na posição de equilibrio. (b) Suponha que essa mola esteja presa no teto e que tenha uma massa
pendurada na outra extremidade, e esteja compelida a mover-se apenas na direção vertical. Determine a distensão
do novo ponto de equilibrio com a massa suspensa. Mostre que a energia potencial total (mola mais gravidade) tem a mesma forma
se usarmos a coordenada
igual ao deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio
(e redefina o ponto de referência de modo que
).
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem daí pode ser usado depois).
-
Dados e definições fornecidas:
- A mola unidimensional tem constante elástica
. - A força elástica (para pequenas deformações, lei de Hooke) é
, onde é o deslocamento da extremidade móvel em relação à posição de equilíbrio da mola (posição na qual a mola não exerce força). - Na parte (b) a mola está presa no teto e uma massa
é pendurada na outra extremidade; a massa só pode mover-se verticalmente.
- A mola unidimensional tem constante elástica
-
O que é pedido:
- (a) Assumindo que a força
é conservativa, mostrar que a energia potencial associada pode ser escrita como tomando na posição de equilíbrio original da mola. - (b) Com a massa
pendurada, determinar a distensão do novo ponto de equilíbrio (com relação à posição de equilíbrio sem massa). Em seguida mostrar que, se definirmos como deslocamento medido a partir desse novo equilíbrio ( em ) e redefinirmos a referência de energia potencial de modo que em , a energia potencial total (mola + gravidade) fica da forma .
- (a) Assumindo que a força
Passo 2
Conceito chave (mini-aula): relação entre força conservativa e energia potencial.
- Uma força
unidimensional é conservativa se existe uma função (energia potencial) tal que
- Isso significa que podemos recuperar
por integração:
onde
é uma constante arbitrária (referência zero da energia potencial). Cada termo aqui:
-
: força ao longo da coordenada , -
: energia potencial associada, -
: constante escolhida conforme referência (por exemplo em certa posição).
Passo 3
Aplicando a integração ao caso da mola (parte (a)).
- Temos
. - Usando a fórmula
, substituímos:
- Calcule a integral (aqui mostro o passo da integração):
- Logo, antes de fixar a constante,
- Agora escolhemos a referência pedida: tomar
na posição de equilíbrio da mola, que é . Substituindo em e impondo dá
- Portanto, com essa escolha de referência,
que é exatamente o resultado pedido em (a).
Comentário prático: essa é a energia elástica armazenada na mola quando ela está deslocada de sua posição de equilíbrio; é uma função quadrática em
, e por isso a mola é associada a um potencial quadrático.
Passo 4
Preparando a parte (b): escolher coordenadas e listar forças (mini-aula sobre sinais).
- Vamos medir
como o deslocamento vertical para baixo a partir da posição de equilíbrio da mola sem massa (ou seja, é a posição em que a mola, sozinha, está sem deformação/força). - Forças que atuam na massa:
- Peso para baixo:
(positivo para baixo no nosso sinal). - Força elástica da mola para cima:
(já dada; negativa porque aponta para cima quando ).
- Peso para baixo:
- No equilíbrio estático, a soma das forças é zero:
Passo 5
Calcular a distensão
do novo ponto de equilíbrio.
- Escrevendo a condição
(peso para baixo força elástica para cima = 0) obtemos
- Portanto,
- Interpretação física rápida: quanto mais pesada a massa ou menor a constante
, maior será a distensão no equilíbrio.
Passo 6
Escrever a energia potencial total (mola + gravidade) como função de
e verificar a forma em torno do novo equilíbrio.
- Energia elástica da mola (usando resultado da parte (a) e tomando referência
):
- Energia potencial gravitacional: com
medido para baixo e escolhendo a referência de altura tal que inicialmente (isso é só uma escolha conveniente antes de redefinir), a variação de energia ao deslocar para baixo é negativa; seguindo a regra geral e sabendo que (para baixo), obtemos
- Para simplicidade inicial podemos escolher
(referência tal que ); então
- A energia potencial total é soma:
onde aqui escrevo
para lembrar que podemos ainda adicionar uma constante global de referência (vinda de
ou de escolha posterior).
- Observação importante: a condição de equilíbrio também pode ser obtida minimizando
. De fato,
e impondo
volta a dar
, coerente com o passo anterior.
Passo 7
Mudar para a coordenada
medida a partir do novo ponto de equilíbrio e mostrar que a energia fica quadrática pura.
- Defina
ou seja,
é o deslocamento em relação ao novo equilíbrio (
corresponde a
).
- Substitua
em :
- Expanda os termos (mostrando cada passo):
e
- Somando tudo:
- Combine os termos lineares em
. Note que pela condição de equilíbrio , então o coeficiente do termo linear em é zero. Assim sobra:
- A expressão entre parênteses é uma constante (independente de
). Podemos escolher a constante de referência de forma conveniente para que . Escolhendo tal que
temos
- Finalmente, substituindo
se quisermos explicitar, a constante escolhida coincide e resulta em e a expressão quadrática pura em .
Interpretação física: depois de deslocar a referência para o novo equilíbrio, as pequenas oscilações da massa têm energia potencial elástica quadrática em
; isso mostra que o sistema se comporta como um oscilador harmônico simples com constante
.
Resposta
(a)
(com
).
(b)
e
(com
e escolhendo
em
).
(b)