Determine as derivadas parciais com respeito a x, y e z das seguintes funções:
h(x, y, z)=a e^{x y / z^{2}}\, onde \(a, b e c são constantes.)

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x,y,z)=a e^{\frac{x y}{z^{2}}},
e informa que a, b e c são constantes (apenas a aparece explicitamente na função). O que se pede: calcular as derivadas parciais de h com respeito a x, a y e a z. Observação importante: a expressão envolve z^{2} no denominador, logo a fórmula só faz sentido para z\neq0.

Passo 2

Estratégia básica (regra da cadeia para derivadas): quando temos uma função composta do tipo h(x,y,z)=a\,e^{u(x,y,z)}, a derivada parcial de h em relação a uma variável (por exemplo x) é dada por multiplicar a e^{u} pela derivada parcial de u em relação a x. Em símbolos:
\frac{\partial h}{\partial x}=a e^{u(x,y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y,z)=\dfrac{x y}{z^{2}}. A explicação rápida do porquê: a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} (isto é, \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}), e pela regra da cadeia multiplica-se pela derivada de u em relação à variável desejada.

Passo 3

Primeiro reescrever u de forma conveniente:
u(x,y,z)=\frac{x y}{z^{2}}=x y z^{-2}.
Agora calculo a derivada parcial de u em relação a x. Ao derivar em relação a x trato y e z como constantes, logo
\frac{\partial u}{\partial x}=y z^{-2}=\frac{y}{z^{2}}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial h}{\partial x}=a e^{\frac{x y}{z^{2}}}\cdot\frac{y}{z^{2}}.
Pode-se escrever de forma equivalente:
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{a y}{z^{2}}\,e^{\frac{x y}{z^{2}}}.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. De maneira análoga, ao derivar u=x y z^{-2} em relação a y tratam-se x e z como constantes:
\frac{\partial u}{\partial y}=x z^{-2}=\frac{x}{z^{2}}.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial h}{\partial y}=a e^{\frac{x y}{z^{2}}}\cdot\frac{x}{z^{2}}.
Ou escrita equivalente:
\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{a x}{z^{2}}\,e^{\frac{x y}{z^{2}}}.

Passo 5

Finalmente, a derivada parcial em relação a z. Aqui é necessário usar a regra do produto/potência para z^{-2}. Começando por u=x y z^{-2}, ao derivar em relação a z temos x y como constante multiplicativa e derivamos z^{-2}:
\frac{d}{dz}z^{-2}=-2 z^{-3}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial z}=x y\cdot(-2)z^{-3}=-\frac{2 x y}{z^{3}}.
Aplicando a regra da cadeia para h:
\frac{\partial h}{\partial z}=a e^{\frac{x y}{z^{2}}}\cdot\left(-\frac{2 x y}{z^{3}}\right).
Organizando:
\frac{\partial h}{\partial z}=-\frac{2 a x y}{z^{3}}\,e^{\frac{x y}{z^{2}}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}=\frac{a y}{z^{2}}\,e^{\frac{x y}{z^{2}}}
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}=\frac{a x}{z^{2}}\,e^{\frac{x y}{z^{2}}}
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial z}=-\frac{2 a x y}{z^{3}}\,e^{\frac{x y}{z^{2}}}

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