Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções:
e
são constantes.)
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que
,
e
são constantes (apenas
aparece explicitamente na função). O que se pede: calcular as derivadas parciais de
com respeito a
, a
e a
. Observação importante: a expressão envolve
no denominador, logo a fórmula só faz sentido para
.
Passo 2
Estratégia básica (regra da cadeia para derivadas): quando temos uma função composta do tipo
, a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) é dada por multiplicar
pela derivada parcial de
em relação a
. Em símbolos:
Aqui
. A explicação rápida do porquê: a derivada de
em relação a
é
(isto é,
), e pela regra da cadeia multiplica-se pela derivada de
em relação à variável desejada.
Passo 3
Primeiro reescrever
de forma conveniente:
Agora calculo a derivada parcial de
em relação a
. Ao derivar em relação a
trato
e
como constantes, logo
Aplicando a regra da cadeia:
Pode-se escrever de forma equivalente:
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. De maneira análoga, ao derivar
em relação a
tratam-se
e
como constantes:
Pela regra da cadeia:
Ou escrita equivalente:
Passo 5
Finalmente, a derivada parcial em relação a
. Aqui é necessário usar a regra do produto/potência para
. Começando por
, ao derivar em relação a
temos
como constante multiplicativa e derivamos
:
Portanto
Aplicando a regra da cadeia para
:
Organizando: