Determine as derivadas parciais com respeito a x, y e z das seguintes funções:
g(x, y, z)=\cos \left(a x y^{2} z^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de g em relação a x, y e z. A função dada é
g(x,y,z)=\cos\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão interna a x y^{2} z^{3} depende das três variáveis x,y,z.
  • O símbolo a é um parâmetro constante (não depende de x,y,z).
  • Precisamos calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}, \dfrac{\partial g}{\partial y} e \dfrac{\partial g}{\partial z}.
    Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Entendendo a técnica que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial g}{\partial x} tratamos y e z como constantes; análogas ideias para as outras variáveis.
  • Regra da cadeia (forma usada): se g(x,y,z)=\cos(u(x,y,z)) com u função das variáveis, então
\frac{\partial g}{\partial x} = -\sin\!\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui usamos que a derivada de \cos é -\sin e multiplicamos pela derivada da função interna u (essa é a regra da cadeia). Vamos aplicar isso com
u(x,y,z)=a x y^{2} z^{3}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Como u=a x y^{2} z^{3}, ao derivar em relação a x tratamos a,y,z como constantes.
  • A derivada de x é 1, então
\frac{\partial u}{\partial x}=a\cdot y^{2}\cdot z^{3}=a y^{2} z^{3}.
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial g}{\partial x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial x}:
\frac{\partial g}{\partial x}=-\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr)\cdot \bigl(a y^{2} z^{3}\bigr).
Podemos escrever de forma combinada:
\frac{\partial g}{\partial x}=-a y^{2} z^{3}\,\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y} (passo para \dfrac{\partial g}{\partial y}).
  • Temos u=a x y^{2} z^{3}. Ao derivar em relação a y, a,x,z são constantes.
  • A derivada de y^{2} é 2y, então
\frac{\partial u}{\partial y}=a\cdot x\cdot 2y\cdot z^{3}=2a x y z^{3}.
Agora aplicamos a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial y}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial y}:
\frac{\partial g}{\partial y}=-\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr)\cdot \bigl(2a x y z^{3}\bigr).
Escrevendo de forma combinada:
\frac{\partial g}{\partial y}=-2a x y z^{3}\,\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial z} (passo para \dfrac{\partial g}{\partial z}).
  • Com u=a x y^{2} z^{3}, ao derivar em relação a z tratam-se a,x,y como constantes.
  • A derivada de z^{3} é 3z^{2}, então
\frac{\partial u}{\partial z}=a\cdot x\cdot y^{2}\cdot 3z^{2}=3a x y^{2} z^{2}.
Aplicamos a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial g}{\partial z}.

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial z}:
\frac{\partial g}{\partial z}=-\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr)\cdot \bigl(3a x y^{2} z^{2}\bigr).
Escrevendo de forma combinada:
\frac{\partial g}{\partial z}=-3a x y^{2} z^{2}\,\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=-a y^{2} z^{3}\,\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=-2a x y z^{3}\,\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}=-3a x y^{2} z^{2}\,\sin\!\bigl(a x y^{2} z^{3}\bigr)

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