Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão interna
depende das três variáveis . - O símbolo
é um parâmetro constante (não depende de ). - Precisamos calcular
, e .
Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Entendendo a técnica que vamos usar (explicação didática e simples).
- Derivada parcial: ao calcular
tratamos e como constantes; análogas ideias para as outras variáveis. - Regra da cadeia (forma usada): se
com função das variáveis, então
Aqui usamos que a derivada de
é
e multiplicamos pela derivada da função interna
(essa é a regra da cadeia). Vamos aplicar isso com
Passo 3
Calcular
.
- Como
, ao derivar em relação a tratamos como constantes. - A derivada de
é , então
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Podemos escrever de forma combinada:
Passo 5
Calcular
(passo para
).
- Temos
. Ao derivar em relação a , são constantes. - A derivada de
é , então
Agora aplicamos a regra da cadeia para
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Escrevendo de forma combinada:
Passo 7
Calcular
(passo para
).
- Com
, ao derivar em relação a tratam-se como constantes. - A derivada de
é , então
Aplicamos a regra da cadeia para obter
.
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia para
:
Escrevendo de forma combinada: