Determine as derivadas parciais com respeito a x, y e z das seguintes funções:
h(x, y, z)=a r, onde a, b e c são constantes e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de h(x,y,z)=a\,r em relação a x, y e z. As informações dadas são:
  • a (e também b,c) são constantes.
  • r é definido por \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,.
    Portanto: calcular \dfrac{\partial h}{\partial x}, \dfrac{\partial h}{\partial y} e \dfrac{\partial h}{\partial z}.

Passo 2

Estratégia: usar a regra da cadeia. Vou tratar r como função composta de u=x^{2}+y^{2}+z^{2} via r=u^{1/2}. A regra da cadeia diz, de forma prática: se r(u)=u^{1/2} e u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{dr}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Explico cada termo: \dfrac{dr}{du} é a derivada de u^{1/2} em relação a u; \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x.

Passo 3

Calcular \dfrac{dr}{du} e \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Como r(u)=u^{1/2},
\frac{dr}{du}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
E como u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{u}}.
Agora volto ao r: como \sqrt{u}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=r, obtemos
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},
válido quando r\neq 0. Observação importante (didática): em (x,y,z)=(0,0,0) a expressão \dfrac{x}{r} fica \dfrac{0}{0} e a derivada parcial não está bem definida — na prática \dfrac{\partial r}{\partial x}(0,0,0) não existe (por exemplo, ao percorrer a reta y=z=0 temos r=|x| e a derivada lateral dá sinais opostos).

Passo 5

Como h=a\,r com a constante, as derivadas parciais de h são a vezes as de r. Assim
\frac{\partial h}{\partial x}=a\frac{\partial r}{\partial x}=a\frac{x}{r}.
Pelo mesmo raciocínio (simetria em x,y,z):
\frac{\partial h}{\partial y}=a\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial h}{\partial z}=a\frac{z}{r},
sempre para r\neq 0. Reforço: em (0,0,0) essas derivadas parciais não existem.

Resposta

\dfrac{\partial h}{\partial x}=\dfrac{a\,x}{r}
\dfrac{\partial h}{\partial y}=\dfrac{a\,y}{r}
\dfrac{\partial h}{\partial z}=\dfrac{a\,z}{r}

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