Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções:
, onde
e
são constantes e
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. As informações dadas são:
-
(e também ) são constantes. -
é definido por .
Portanto: calcular, e .
Passo 2
Estratégia: usar a regra da cadeia. Vou tratar
como função composta de
via
. A regra da cadeia diz, de forma prática: se
e
, então
Explico cada termo:
é a derivada de
em relação a
;
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calcular
e
.
Como ,
Como
E como
,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Agora volto ao
: como
, obtemos
válido quando
. Observação importante (didática): em
a expressão
fica
e a derivada parcial não está bem definida — na prática
não existe (por exemplo, ao percorrer a reta
temos
e a derivada lateral dá sinais opostos).
Passo 5
Como
com
constante, as derivadas parciais de
são
vezes as de
. Assim
Pelo mesmo raciocínio (simetria em
):
sempre para
. Reforço: em
essas derivadas parciais não existem.