Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
e mostrar que as mistas
e
coincidem. Como a função é polinomial, todas as derivadas existem e são contínuas, então vale o teorema de Clairaut sobre igualdade das mistas.
Passo 2
Primeiro calculamos as primeiras derivadas parciais. Derivando em relação a
, trata-se de diferenciar termo a termo mantendo
como constante:
Derivando em relação a
, só o termo
depende de
:
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas a partir de
. Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora a partir de
. Derivando em relação a
:
E em relação a
:
Passo 5
Comparando, vemos que
logo as derivadas parciais mistas são iguais, conforme esperado para funções com segunda derivada contínua.