Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=x^{3}+x^{2} y+x+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^{3}+x^{2}y+x+4
e mostrar que as mistas f_{xy} e f_{yx} coincidem. Como a função é polinomial, todas as derivadas existem e são contínuas, então vale o teorema de Clairaut sobre igualdade das mistas.

Passo 2

Primeiro calculamos as primeiras derivadas parciais. Derivando em relação a x, trata-se de diferenciar termo a termo mantendo y como constante:
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}(4) =3x^{2}+2xy+1.
Derivando em relação a y, só o termo x^{2}y depende de y:
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{2}.

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas a partir de f_{x}. Derivando f_{x}=3x^{2}+2xy+1 em relação a x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+2xy+1) =6x+2y.
Derivando f_{x} em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+2xy+1) =2x.

Passo 4

Agora a partir de f_{y}=x^{2}. Derivando em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
E em relação a x:
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.

Passo 5

Comparando, vemos que
f_{xy}=2x \quad\text{e}\quad f_{yx}=2x,
logo as derivadas parciais mistas são iguais, conforme esperado para funções com segunda derivada contínua.

Resposta

\displaystyle f_{xx}=6x+2y \displaystyle f_{yy}=0 \displaystyle f_{xy}=2x \displaystyle f_{yx}=2x

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