Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=x \sqrt{y}+y \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}
e mostrar que as mistas f_{xy} e f_{yx} coincidem.
Para isso, vamos usar regras básicas de derivação: derivada de potência, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos primeiro
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sqrt{y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\sqrt{x}\bigr).
Aqui \sqrt{y} é constante em relação a x, e \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Logo,
f_x = \sqrt{y} + y\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{y} + \frac{y}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sqrt{y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sqrt{x}\bigr).
Desta vez \sqrt{x} é constante em relação a y, e \frac{d}{dy}\sqrt{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}. Assim,
f_y = x\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} + \sqrt{x} = \frac{x}{2\sqrt{y}} + \sqrt{x}.

Passo 4

Derivadas de segunda ordem nas direções puras:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\sqrt{y} + \frac{y}{2\sqrt{x}}\Bigr) = 0 + y\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).
Como \frac{d}{dx}(x^{-1/2})=-\tfrac12x^{-3/2}, temos
f_{xx} = y\cdot\Bigl(-\frac{1}{4x^{3/2}}\Bigr) = -\frac{y}{4x^{3/2}}.
De modo análogo,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{y}} + \sqrt{x}\Bigr) = x\cdot\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{y}}\Bigr) = -\frac{x}{4y^{3/2}}.

Passo 5

Derivada mista f_{xy}:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\sqrt{y} + \frac{y}{2\sqrt{x}}\Bigr) = \frac{d}{dy}\bigl(\sqrt{y}\bigr) + \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dy}(y).
Logo,
f_{xy} = \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Derivada mista f_{yx}:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{y}} + \sqrt{x}\Bigr) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Portanto,
f_{yx} = \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Comparando os resultados de f_{xy} e f_{yx}, vemos que são iguais, como exigido pelo teorema de Schwarz (função suficientemente suave).

Resposta

f_{xx}(x,y) = -\frac{y}{4x^{3/2}}
f_{yy}(x,y) = -\frac{x}{4y^{3/2}}
f_{xy}(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}
f_{yx}(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}
Logo, f_{xy} = f_{yx}.

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