Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
e mostrar que as mistas
e
coincidem.
Para isso, vamos usar regras básicas de derivação: derivada de potência, regra do produto e regra da cadeia.
Para isso, vamos usar regras básicas de derivação: derivada de potência, regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Calculamos primeiro
Aqui
é constante em relação a
, e
. Logo,
Passo 3
Agora
Desta vez
é constante em relação a
, e
. Assim,
Passo 4
Derivadas de segunda ordem nas direções puras:
Como
, temos
De modo análogo,
Passo 5
Derivada mista
:
Logo,
Passo 6
Derivada mista
:
Portanto,
Passo 7
Comparando os resultados de
e
, vemos que são iguais, como exigido pelo teorema de Schwarz (função suficientemente suave).
Resposta
Logo,
.