Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
e mostrar que as mistas
e
coincidem. Vamos usar o fato de que
e aplicar a regra da cadeia e as regras de derivação (produto, quociente) para chegar a todas as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
pela regra da cadeia temos
Passo 3
Agora derivamos mais uma vez em cada variável para obter as segundas ordens puras:
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, de modo análogo, derivamos
em relação a
e obtemos
Passo 4
Finalmente calculamos as derivadas mistas:
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, derivamos
em relação a
:
Como os dois valores coincidem, temos mostrado que
.