Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=e^{-x / y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=e^{-x/y} e mostrar que as mistas (f_{xy} e f_{yx}) coincidem. Vamos usar regra da cadeia e produto para obter f_x, f_y e depois as segundas derivadas.

Passo 2

Calcular f_x e f_y. Derivando em x com y constante, a exponencial gera um fator da derivada do expoente:
f_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{-x/y} = e^{-x/y}\cdot \left(-\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y}e^{-x/y}.
Derivando em y com x constante:
f_y = e^{-x/y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\tfrac{x}{y}\Bigr) = e^{-x/y}\cdot \frac{x}{y^2} = \frac{x}{y^2}e^{-x/y}.

Passo 3

Calcular f_{xx} e f_{xy}. Para f_{xx} derivamos f_x em x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac{1}{y}e^{-x/y}\Bigr) = -\frac{1}{y}\cdot e^{-x/y}\cdot \Bigl(-\frac{1}{y}\Bigr) = \frac{1}{y^2}e^{-x/y}.
Para f_{xy} derivamos f_x em y usando produto:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\tfrac{1}{y}e^{-x/y}\Bigr) = \frac{1}{y^2}e^{-x/y} + \Bigl(-\frac{1}{y}\Bigr)e^{-x/y}\cdot \frac{x}{y^2} = e^{-x/y}\Bigl(\tfrac{1}{y^2} - \tfrac{x}{y^3}\Bigr).

Passo 4

Calcular f_{yy} e f_{yx}. Para f_{yy} derivamos f_y em y:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x}{y^2}e^{-x/y}\Bigr) = -\frac{2x}{y^3}e^{-x/y} + \frac{x}{y^2}e^{-x/y}\cdot \frac{x}{y^2} = e^{-x/y}\Bigl(-\tfrac{2x}{y^3} + \tfrac{x^2}{y^4}\Bigr).
Para f_{yx} derivamos f_y em x:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x}{y^2}e^{-x/y}\Bigr) = \frac{1}{y^2}e^{-x/y} + \frac{x}{y^2}e^{-x/y}\cdot \Bigl(-\frac{1}{y}\Bigr) = e^{-x/y}\Bigl(\tfrac{1}{y^2} - \tfrac{x}{y^3}\Bigr).

Passo 5

Comparando f_{xy} e f_{yx} vemos que ambas são
e^{-x/y}\Bigl(\tfrac{1}{y^2} - \tfrac{x}{y^3}\Bigr),
logo as derivadas parciais mistas coincidem.

Resposta

f_{xx}=\dfrac{1}{y^2}e^{-x/y},\quad f_{xy}=f_{yx}=e^{-x/y}\Bigl(\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{x}{y^3}\Bigr),\quad f_{yy}=e^{-x/y}\Bigl(-\dfrac{2x}{y^3}+\dfrac{x^2}{y^4}\Bigr).

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