Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
e mostrar que as mistas
e
coincidem. Vamos usar regra da cadeia e produto para obter
,
e depois as segundas derivadas.
Passo 2
Calcular
e
. Derivando em
com
constante, a exponencial gera um fator da derivada do expoente:
Derivando em
com
constante:
Passo 3
Calcular
e
. Para
derivamos
em
:
Para
derivamos
em
usando produto:
Passo 4
Calcular
e
. Para
derivamos
em
:
Para
derivamos
em
:
Passo 5
Comparando
e
vemos que ambas são
logo as derivadas parciais mistas coincidem.