Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
e que mostremos que as mistas
e
coincidem. Vamos usar regra da cadeia e derivação de quociente para funções de duas variáveis.
Passo 2
Calcular a primeira parcial em relação a
. Seja
. Então
Passo 3
Calcular a primeira parcial em relação a
. Análogo ao passo anterior,
Passo 4
Calcular
. Partimos de
e usamos produto e quociente:
que, ao colocar sobre denominador comum, fica
Passo 5
Calcular
. De
vem
ou seja
Passo 6
Calcular
e
. De
temos
Análogo, partindo de
, chega-se a
Logo, de fato
.