Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
4.
f(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}}{3 x-8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}}{3x-8}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, que diz que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{3}-2x^{2}, \quad v(x)=3x-8.
Então calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x)=3x^{2}-4x, \quad v'(x)=3.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{\bigl(3x^{2}-4x\bigr)\,(3x-8)-(x^{3}-2x^{2})\cdot3}{(3x-8)^{2}}.

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos o numerador:
(3x^{2}-4x)(3x-8) =9x^{3}-24x^{2}-12x^{2}+32x =9x^{3}-36x^{2}+32x,
(x^{3}-2x^{2})\cdot3 =3x^{3}-6x^{2},
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\text{numerador} =9x^{3}-36x^{2}+32x-\bigl(3x^{3}-6x^{2}\bigr) =6x^{3}-30x^{2}+32x.
Fatorando 2x:
6x^{3}-30x^{2}+32x =2x\,(3x^{2}-15x+16).

Resposta

f'(x) =\frac{6x^{3}-30x^{2}+32x}{(3x-8)^{2}} =\frac{2x\,(3x^{2}-15x+16)}{(3x-8)^{2}}.

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