Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
5.
f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{4-x}{5-x^2}.
O conteúdo aqui é a regra do quociente, que diz que, se
u(x)\quad e\quad v(x)
são funções diferenciáveis, então
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=4-x \quad\text{e}\quad v(x)=5-x^2.
Calculamos as derivadas:
u'(x)=-1, \quad v'(x)=-2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^2} =\frac{(-1)(5-x^2)-(4-x)(-2x)}{(5-x^2)^2}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
(-1)(5-x^2)-(4-x)(-2x) =-5+x^2+8x-2x^2 =-x^2+8x-5.
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f'(x)=\frac{-x^2+8x-5}{(5-x^2)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{-x^2+8x-5}{(5-x^2)^2}.

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