Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
3. f(x)=\left(x^{3}-x^{2}+3\right) x^{-5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{3}-x^{2}+3\bigr)x^{-5}.
O conteúdo aqui é derivada de produto de funções, então vamos usar a regra do produto:
(u\,v)' = u'\,v + u\,v'.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{3}-x^{2}+3, \quad v(x) = x^{-5}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada um:
u'(x) = 3x^{2} - 2x, \quad v'(x) = -5\,x^{-6}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \bigl(3x^{2}-2x\bigr)x^{-5} + \bigl(x^{3}-x^{2}+3\bigr)\bigl(-5x^{-6}\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos termo a termo:
(3x^{2})x^{-5} = 3x^{-3}, \quad (-2x)x^{-5} = -2x^{-4},
-5x^{-6}\cdot x^{3} = -5x^{-3}, \quad -5x^{-6}\cdot(-x^{2}) = +5x^{-4}, \quad -5x^{-6}\cdot3 = -15x^{-6}.
Somando os semelhantes:
3x^{-3} - 5x^{-3} = -2x^{-3}, \quad -2x^{-4} + 5x^{-4} = 3x^{-4},
e mantemos -15x^{-6}. Logo,
f'(x) = -2x^{-3} + 3x^{-4} - 15x^{-6}.

Resposta

f'(x) = -2x^{-3} + 3x^{-4} - 15x^{-6}.

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