1. Determine o deslocamento vertical do no ponto C . EI é constante. Para cada barra, \mathrm{A}= 400 \mathrm{~mm}^{2} e \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}. Use o método do trabalho virtual.
    R: \frac{1800 k N \cdot m^{3}}{E I} \downarrow

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento vertical no ponto C (sentido para baixo) da estrutura mostrada. As informações fornecidas são:
  • Geometria:
    • Coluna AB: comprimento 4\\ \mathrm{m} (de A embaixo a B no topo).
    • Viga BC: comprimento 3\\ \mathrm{m} (de B para a direita até C).
  • Cargas externas:
    • Força horizontal de 20\\ \mathrm{kN} aplicada no nó B (para a esquerda).
    • Momento concentrado de 80\\ \mathrm{kN\cdot m} aplicado em C (sentido horário, conforme figura).
  • Propriedades dos elementos:
    • Área de cada barra A=400\\ \mathrm{mm^{2}}.
    • Módulo de elasticidade E=200\\ \mathrm{GPa}.
    • Foi dito que EI é constante (ou seja, toda a estrutura usa o mesmo produto E\cdot I para os termos de flexão).
  • O enunciado diz para usar o método do trabalho virtual para obter o deslocamento vertical em C.
O que se pede explicitamente:
  • Determinar \emph{o deslocamento vertical do ponto C, no sentido para baixo} (valor final solicitado em função de EI).

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (aula curta sobre trabalho virtual aplicado a estruturas):
  • Ideia: para encontrar o deslocamento \delta num ponto na direção de interesse, aplica-se virtualmente uma força unitária naquela direção (a “carga virtual”) e calcula-se o trabalho interno virtual devido às ações reais e às deformações virtuais. Para vigas/estruturas com comportamento elástico linear a fórmula de energia (forma de Castigliano/teorema do trabalho virtual) reduz-se a:
\delta=\sum_{\text{elementos}}\int \frac{M\,M^{*}}{EI}\,dx \;+\;\sum_{\text{elementos}}\int \frac{N\,N^{*}}{EA}\,dx,
onde:
  • M = momento fletor interno devido às cargas reais,
  • M^{*} = momento fletor interno devido à carga virtual unitária aplicada no ponto/direção cujo deslocamento se quer obter,
  • N = força axial interna (real),
  • N^{*} = força axial interna na configuração virtual,
  • E = módulo de Young, I = momento de inércia da seção (aqui assume-se EI constante), A = área da seção.
  • A integral é tomada ao longo do comprimento de cada barra, depois somam-se as contribuições de todos os elementos.
  • Explicação rápida das variáveis: x é a coordenada ao longo do elemento; dx dá a contribuição de uma fatia de comprimento dx. O termo \frac{M M^*}{EI} vem da energia de flexão por unidade de comprimento; \frac{N N^*}{EA} da energia de alongamento/encurtamento axial.
Observação sobre porque não aparece termo de cisalhamento: para vigas clássicas de Bernoulli a energia de cisalhamento é negligenciada; o método padrão usa apenas \int M M^*/(EI) e \int N N^*/(EA).

Passo 3

Determinar os esforços internos reais ( M e N) causados pelas cargas reais ( 20\\ \mathrm{kN} em B e 80\\ \mathrm{kN\cdot m} em C).
Análise por peça:
  1. Viga BC (de x=0 em B até x=3\\ \mathrm{m} em C):
  • A única carga distribuída/puntual sobre a viga é o momento concentrado M_C=80\\ \mathrm{kN\cdot m} aplicado em C. Esse momento atravessa a viga e aparece como um momento constante ao longo da viga (caso de momento aplicado na extremidade livre de uma viga em balanço rígido).
  • Portanto, o momento fletor real ao longo de BC é constante e igual a
M_{\text{real,\,viga}}(x)=80\\ \mathrm{kN\cdot m}\qquad\text{para }0\le x\le 3.
  • Força axial real na viga: não há forças axiais aplicadas ao longo da viga nem em C na direção da viga; portanto
N_{\text{real,\,viga}}(x)=0.
  1. Coluna AB (de s=0 em A até s=4\\ \mathrm{m} em B; vou usar s como coordenada medida a partir da base A para cima):
  • A força horizontal de 20\\ \mathrm{kN} aplicada em B produz um momento fletor na coluna que varia linearmente com s. Além disso o momento transmitido pela viga (o momento de 80\\ \mathrm{kN\cdot m} que aparece no nó B) também é transmitido à coluna como um momento concentrado em B e, portanto, aparece em todas as seções da coluna.
  • Somando essas contribuições, o momento fletor real na coluna, para uma seção situada a uma distância s da base A, é
M_{\text{real,\,coluna}}(s)=M_{\text{viga em }B}+(\text{momento devido a }20\\ \mathrm{kN})
onde o momento da viga em B é 80\\ \mathrm{kN\cdot m} e o momento devido à força horizontal em B vale 20\cdot(4-s) (braço é distância da seção até a força em B). Logo
M_{\text{real,\,coluna}}(s)=80 + 20(4-s)=160-20s\quad\mathrm{(kN\cdot m)},\qquad 0\le s\le 4.
  • Força axial real na coluna: não há cargas verticais reais aplicadas (somente um momento e uma força horizontal), portanto a coluna não está solicitada por forças axiais reais importantes neste caso:
N_{\text{real,\,coluna}}(s)=0.
Resumo dos esforços reais usados adiante:
  • Viga BC: M=80\\ \mathrm{kN\cdot m}, N=0.
  • Coluna AB: M(s)=160-20s\\ \mathrm{kN\cdot m}, N(s)=0.

Passo 4

Determinar os esforços internos virtuais ( M^{*} e N^{*}) gerados pela carga virtual unitária aplicada \emph{verticalmente para baixo} em C (essa carga unitária representa o deslocamento virtual na direção desejada).
Análise do sistema virtual (carga unidade P^{*}=1 kN para baixo em C):
  1. Viga BC:
  • Para uma viga em balanço com uma força vertical concentrada P^{*}=1 na extremidade livre C, o diagrama de momento ao longo da viga (medindo x desde B até C) é o clássico para carga na ponta: o momento interno em uma seção a uma distância x de B (com 0\le x\le 3) é o produto da carga pela distância da seção até o ponto de aplicação:
M^{*}_{\text{viga}}(x)=1\cdot(3-x)=3-x\quad\mathrm{(kN\cdot m)}.
  • Em particular, o momento no nó B produzido pela carga unitária é
M^{*}_{B}=M^{*}_{\text{viga}}(0)=3\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Força axial virtual na viga: a carga virtual é vertical (perpendicular ao eixo da viga), logo não gera força axial na viga:
N^{*}_{\text{viga}}(x)=0.
  1. Coluna AB:
  • A carga vertical unitária em C transmite-se ao nó B como uma força vertical unitária para baixo; essa força axial na coluna provoca uma força axial virtual
N^{*}_{\text{coluna}}(s)=1\quad\mathrm{(positivo\\ para\\ compressão\\ se\\ convenção\\ adotada)}.ãçã
  • Além disso, a viga impõe ao nó B o momento M^{*}_{B}=3\\ \mathrm{kN\cdot m} (calculado acima). Esse momento é transmitido à coluna e aparece como momento fletor constante ao longo da coluna (não há outras cargas verticais variáveis que gerem outros momentos na coluna no sistema virtual). Portanto o momento fletor virtual na coluna é
M^{*}_{\text{coluna}}(s)=3\\ \mathrm{kN\cdot m}\qquad\text{para }0\le s\le 4.
Resumo dos esforços virtuais:
  • Viga BC: M^{*}(x)=3-x,\;N^{*}=0.
  • Coluna AB: M^{*}(s)=3,\;N^{*}=1.

Passo 5

Calcular as integrais de energia \displaystyle \int M\,M^{*}\,dx e \displaystyle \int N\,N^{*}\,dx para cada elemento e somar.
Primeiro notar que os termos axiais reais N são todos zero ( N_{\text{real}}=0 em ambos os elementos), logo as integrais axiais \int N\,N^{*}/(EA)\,dx são nulas. Permanecem apenas as contribuições por flexão.
  1. Contribuição da viga BC:
\int_{0}^{3} M_{\text{real,\,viga}}(x)\,M^{*}_{\text{viga}}(x)\,dx =\int_{0}^{3} 80\,(3-x)\,dx.
Calcular a integral:
\int_{0}^{3}80(3-x)\,dx=80\left[3x-\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} =80\left(9-\tfrac{9}{2}\right)=80\cdot\tfrac{9}{2}=80\cdot4{,}5=360.
Unidade (conceitual): \mathrm{kN\cdot m}\times\mathrm{kN\cdot m}\times\mathrm{m}=\mathrm{kN^{2}\cdot m^{3}}. Para manter a forma pedida vamos registrar o número como 360 (compreendendo as unidades como no resultado final).
  1. Contribuição da coluna AB:
\int_{0}^{4} M_{\text{real,\,coluna}}(s)\,M^{*}_{\text{coluna}}(s)\,ds =\int_{0}^{4} (160-20s)\cdot 3\,ds =3\int_{0}^{4} (160-20s)\,ds.
Calcular a integral:
\int_{0}^{4}(160-20s)\,ds=\left[160s-10s^{2}\right]_{0}^{4}=160\cdot4-10\cdot16=640-160=480.
Multiplicando por 3:
3\cdot 480=1440.
  1. Soma das contribuições por flexão:
\text{soma} = 360 + 1440 = 1800.
Portanto a integral total \displaystyle \sum\int M M^{*}\,dx = 1800 (na unidade combinada adequada; o resultado final será expresso como fração sobre EI).

Passo 6

Aplicar a fórmula do trabalho virtual com as contribuições encontradas. Como as contribuições axiais são nulas, temos apenas a parte de flexão:
\delta=\frac{1}{EI}\sum_{\text{elementos}}\int M\,M^{*}\,dx=\frac{1}{EI}\cdot 1800.
Expressando no formato pedido (deslocamento para baixo):
\delta=\frac{1800\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^{3}}{EI}\downarrow.

Resposta

\displaystyle \frac{1800\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}^{3}}{EI}\downarrow

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