- Determine o deslocamento vertical do no ponto C . EI é constante. Para cada barra,
e
. Use o método do trabalho virtual.
R:
R:
Passo 1
O enunciado pede o deslocamento vertical no ponto
(sentido para baixo) da estrutura mostrada. As informações fornecidas são:
- Geometria:
- Coluna
: comprimento (de embaixo a no topo). - Viga
: comprimento (de para a direita até ).
- Coluna
- Cargas externas:
- Força horizontal de
aplicada no nó (para a esquerda). - Momento concentrado de
aplicado em (sentido horário, conforme figura).
- Força horizontal de
- Propriedades dos elementos:
- Área de cada barra
. - Módulo de elasticidade
. - Foi dito que
é constante (ou seja, toda a estrutura usa o mesmo produto para os termos de flexão).
- Área de cada barra
- O enunciado diz para usar o método do trabalho virtual para obter o deslocamento vertical em
.
O que se pede explicitamente:
- Determinar \emph{o deslocamento vertical do ponto
, no sentido para baixo} (valor final solicitado em função de ).
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar (aula curta sobre trabalho virtual aplicado a estruturas):
- Ideia: para encontrar o deslocamento
num ponto na direção de interesse, aplica-se virtualmente uma força unitária naquela direção (a “carga virtual”) e calcula-se o trabalho interno virtual devido às ações reais e às deformações virtuais. Para vigas/estruturas com comportamento elástico linear a fórmula de energia (forma de Castigliano/teorema do trabalho virtual) reduz-se a:
onde:
-
= momento fletor interno devido às cargas reais, -
= momento fletor interno devido à carga virtual unitária aplicada no ponto/direção cujo deslocamento se quer obter, -
= força axial interna (real), -
= força axial interna na configuração virtual, -
= módulo de Young, = momento de inércia da seção (aqui assume-se constante), = área da seção. - A integral é tomada ao longo do comprimento de cada barra, depois somam-se as contribuições de todos os elementos.
- Explicação rápida das variáveis:
é a coordenada ao longo do elemento; dá a contribuição de uma fatia de comprimento . O termo vem da energia de flexão por unidade de comprimento; da energia de alongamento/encurtamento axial.
Observação sobre porque não aparece termo de cisalhamento: para vigas clássicas de Bernoulli a energia de cisalhamento é negligenciada; o método padrão usa apenas
e
.
Passo 3
Determinar os esforços internos reais (
e
) causados pelas cargas reais (
em
e
em
).
Análise por peça:
- Viga
(de em até em ):
- A única carga distribuída/puntual sobre a viga é o momento concentrado
aplicado em . Esse momento atravessa a viga e aparece como um momento constante ao longo da viga (caso de momento aplicado na extremidade livre de uma viga em balanço rígido). - Portanto, o momento fletor real ao longo de
é constante e igual a
- Força axial real na viga: não há forças axiais aplicadas ao longo da viga nem em
na direção da viga; portanto
- Coluna
(de em até em ; vou usar como coordenada medida a partir da base para cima):
- A força horizontal de
aplicada em produz um momento fletor na coluna que varia linearmente com . Além disso o momento transmitido pela viga (o momento de que aparece no nó ) também é transmitido à coluna como um momento concentrado em e, portanto, aparece em todas as seções da coluna. - Somando essas contribuições, o momento fletor real na coluna, para uma seção situada a uma distância
da base , é
onde o momento da viga em
é
e o momento devido à força horizontal em
vale
(braço é distância da seção até a força em
). Logo
- Força axial real na coluna: não há cargas verticais reais aplicadas (somente um momento e uma força horizontal), portanto a coluna não está solicitada por forças axiais reais importantes neste caso:
Resumo dos esforços reais usados adiante:
- Viga
: , . - Coluna
: , .
Passo 4
Determinar os esforços internos virtuais (
e
) gerados pela carga virtual unitária aplicada \emph{verticalmente para baixo} em
(essa carga unitária representa o deslocamento virtual na direção desejada).
Análise do sistema virtual (carga unidade
kN para baixo em
):
- Viga
:
- Para uma viga em balanço com uma força vertical concentrada
na extremidade livre , o diagrama de momento ao longo da viga (medindo desde até ) é o clássico para carga na ponta: o momento interno em uma seção a uma distância de (com ) é o produto da carga pela distância da seção até o ponto de aplicação:
- Em particular, o momento no nó
produzido pela carga unitária é
- Força axial virtual na viga: a carga virtual é vertical (perpendicular ao eixo da viga), logo não gera força axial na viga:
- Coluna
:
- A carga vertical unitária em
transmite-se ao nó como uma força vertical unitária para baixo; essa força axial na coluna provoca uma força axial virtual
- Além disso, a viga impõe ao nó
o momento (calculado acima). Esse momento é transmitido à coluna e aparece como momento fletor constante ao longo da coluna (não há outras cargas verticais variáveis que gerem outros momentos na coluna no sistema virtual). Portanto o momento fletor virtual na coluna é
Resumo dos esforços virtuais:
- Viga
: . - Coluna
: .
Passo 5
Calcular as integrais de energia
e
para cada elemento e somar.
Primeiro notar que os termos axiais reais
são todos zero (
em ambos os elementos), logo as integrais axiais
são nulas. Permanecem apenas as contribuições por flexão.
- Contribuição da viga
:
Calcular a integral:
Unidade (conceitual):
. Para manter a forma pedida vamos registrar o número como
(compreendendo as unidades como no resultado final).
- Contribuição da coluna
:
Calcular a integral:
Multiplicando por
:
- Soma das contribuições por flexão:
Portanto a integral total
(na unidade combinada adequada; o resultado final será expresso como fração sobre
).
Passo 6
Aplicar a fórmula do trabalho virtual com as contribuições encontradas. Como as contribuições axiais são nulas, temos apenas a parte de flexão:
Expressando no formato pedido (deslocamento para baixo):