1. Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas \mathrm{x}_{1} \mathrm{e} \mathrm{x}_{2}. Especifique a inclinação e a máxima deflexão. EI é constante.

Passo 1

O enunciado dá uma viga apoiada em A (esquerda) e B (direita), com comprimento total L. Há duas cargas concentradas iguais P, cada uma localizada a uma distância a de uma extremidade: uma em x=a medida a partir da esquerda e a outra em x=L-a. A rigidez à flexão é constante e igual a EI. Na figura aparecem duas coordenadas de interesse: x_1 medida a partir do apoio A para a direita e x_2 medida a partir do apoio B para a esquerda.
O que o problema pede:
  • Determinar as equações da linha elástica (deflexão v) usando as coordenadas x_1 e x_2;
  • Especificar a inclinação (slope) \theta em cada região;
  • Determinar a deflexão máxima.
Informações relevantes (retiradas do enunciado/figura):
  • Comprimento da viga: L.
  • Distância das cargas às extremidades: a.
  • Cargas concentradas: duas cargas P (para baixo), em x=a e x=L-a.
  • Rigidez: EI constante.
  • Coordenadas: x_1 partir de A (0 em A para direita); x_2 partir de B (0 em B para esquerda).
    A resolução começa a seguir.

Passo 2

Reações nos apoios (equilíbrio estático). Como as cargas são simétricas, as reações nos apoios serão iguais; faço as contas rápidas para justificar a simetria:
Equilíbrio vertical:
R_A+R_B=2P.
Momento em torno de A:
R_B L - P\cdot a - P\cdot (L-a)=0 \quad\Rightarrow\quad R_B L = P L \quad\Rightarrow\quad R_B = P.
Pelo balanço vertical segue R_A=2P-R_B=2P-P=P.
Portanto:
R_A=R_B=P.
Comentário didático curto: para carregamento simétrico é comum ter reações iguais; aqui a verificação por momentos confirma.

Passo 3

Determinar o momento fletor M(x) em termos de x medido a partir de A (ou seja, usando x_1 quando conveniente). Divido a viga em três regiões naturais:
  • Região I: 0\le x_1\le a (entre o apoio esquerdo e a primeira carga).
  • Região II: a\le x_1\le L-a (entre as duas cargas).
  • Região III: L-a\le x_1\le L (entre a segunda carga e o apoio direito).
Calculo o momento em cada região somando contribuições (tomando convenção de sinais: reações positivas para cima, cargas negativas para baixo; M(x) tomado de forma que EI\,v''(x)=M(x)):
Região I ( 0\le x_1\le a): somente a reação R_A=P atua à esquerda do corte, logo
M(x_1)=P x_1.
Região II ( a\le x_1\le L-a): à esquerda do corte aparecem R_A e a carga P em x=a, então
M(x_1)=P x_1 - P(x_1-a)=P a.
(isto é, momento constante igual a P a entre as cargas.)
Região III ( L-a\le x_1\le L): agora aparecem as duas cargas e a reação esquerda; somando contribuições:
M(x_1)=P x_1 - P(x_1-a) - P\bigl(x_1-(L-a)\bigr)=P(L-x_1).
Resumo (tire uma referência mental: entre as cargas o momento é constante = P a; perto das extremidades varia linearmente até zero no apoio).

Passo 4

Relação entre momento e curvatura / linha elástica. A equação clássica da linha elástica (pequenas deflexões, v deslocamento transversal) é
EI\,\frac{d^2 v}{d x^2}=M(x),
onde v(x) é a deflexão vertical (positivo para cima pela convenção adotada; cargas para baixo produzem deflexão negativa). Vou integrar em cada região duas vezes para obter v(x) (duas constantes de integração por região), e depois aplicar condições de contorno e contiguidades para determinar as constantes.
Integração por regiões (uso x como índice, lembrando que x representa x_1 quando uso coordenada a partir de A).
Região I ( 0\le x\le a), M(x)=P x.
EI\,v_1''(x)=P x
Integrando:
EI\,v_1'(x)=\frac{P}{2}x^2 + C_1,
EI\,v_1(x)=\frac{P}{6}x^3 + C_1 x + C_2.
Região II ( a\le x\le L-a), M(x)=P a (constante).
EI\,v_2''(x)=P a
Integrando:
EI\,v_2'(x)=P a\,x + C_3,
EI\,v_2(x)=\frac{P a}{2}x^2 + C_3 x + C_4.
Região III ( L-a\le x\le L), M(x)=P(L-x).
EI\,v_3''(x)=P(L-x)
Integrando:
EI\,v_3'(x)=P\!\left(Lx-\frac{x^2}{2}\right)+C_5,
EI\,v_3(x)=P\!\left(\frac{Lx^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right)+C_5 x + C_6.
Temos 6 constantes C_1,\dots,C_6. Vamos aplicar as condições: suportes sem deslocamento em A e B e continuidade de v e v' nas junções x=a e x=L-a. Como a carga é simétrica, uso a simetria para simplificar: a viga e carregamento são simétricos em relação ao ponto médio x=L/2, então a linha elástica é simétrica e a inclinação no meio é zero:
v'\!\left(\frac{L}{2}\right)=0.
Além disso v(0)=0 e v(L)=0. Vou usar essas condições e as condições de continuidade em x=a.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno e de contiguidade e explorando a simetria para encontrar constantes.
Primeiro, condição v(0)=0 na Região I:
EI\,v_1(0)=C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Condição de simetria: v'\!(L/2)=0. Como L/2 está na Região II (entre as cargas), uso v_2':
EI\,v_2'\!\left(\frac{L}{2}\right)=P a\cdot\frac{L}{2} + C_3 =0
logo
C_3 = -\frac{P a L}{2}.
Continuidade de inclinação em x=a: v_1'(a)=v_2'(a). Usando as expressões:
EI\,v_1'(a)=\frac{P}{2}a^2 + C_1, \qquad EI\,v_2'(a)=P a\cdot a + C_3 =P a^2 + C_3.
Igualando:
\frac{P}{2}a^2 + C_1 = P a^2 + C_3 \quad\Rightarrow\quad C_1 - C_3 = \frac{P a^2}{2}.
Substituindo C_3 encontrado:
C_1 = C_3 + \frac{P a^2}{2} = -\frac{P a L}{2} + \frac{P a^2}{2} = -\frac{P a (L-a)}{2}.
Continuidade de deflexão em x=a: v_1(a)=v_2(a). Em termos de EI:
\frac{P}{6}a^3 + C_1 a + C_2 = \frac{P a}{2}a^2 + C_3 a + C_4.
Lembrando C_2=0 e substituindo C_1 e C_3, resolvo para C_4:
Ao simplificar obtém-se
C_4 = \frac{P a^3}{6}.
As outras constantes C_5,C_6 podem ser obtidas impondo continuidade em x=L-a e condição v(L)=0, mas não é necessário calcular C_5,C_6 explicitamente se explorarmos a simetria: a viga é simétrica, então a expressão da deflexão medida a partir do apoio direito ( x_2, indo para a esquerda) tem a mesma forma funcional que a medida a partir do apoio esquerdo. Assim podemos usar as fórmulas da Região I, trocando x_1 por x_2, para representar a porção próxima a B.
Resumo das constantes encontradas (úteis):
C_2=0,\qquad C_3=-\frac{P a L}{2},\qquad C_1=-\frac{P a (L-a)}{2},\qquad C_4=\frac{P a^3}{6}.

Passo 6

Escrever explicitamente as equações da linha elástica e as inclinações nas regiões, usando as coordenadas pedidas.
Usando os resultados anteriores e dividindo tudo por EI para escrever v e \theta=v':
Região I ( 0\le x_1\le a):
EI\,v_1(x_1)=\frac{P}{6}x_1^3 + C_1 x_1,
com C_1=-\dfrac{P a (L-a)}{2}. Assim
\boxed{\,v_1(x_1)=\frac{P}{6EI}\,x_1^3-\frac{P a (L-a)}{2EI}\,x_1\,.}
Inclinação (derivada em relação a x_1):
\boxed{\,\theta_1(x_1)=v_1'(x_1)=\frac{P}{2EI}\,x_1^2-\frac{P a (L-a)}{2EI}\,.}
Região II ( a\le x_1\le L-a):
EI\,v_2(x_1)=\frac{P a}{2}x_1^2 + C_3 x_1 + C_4,
com C_3=-\dfrac{P a L}{2} e C_4=\dfrac{P a^3}{6}. Assim
\boxed{\,v_2(x_1)=\frac{P a}{2EI}\,x_1^2-\frac{P a L}{2EI}\,x_1+\frac{P a^3}{6EI}\,.}
Inclinação:
\boxed{\,\theta_2(x_1)=v_2'(x_1)=\frac{P a}{EI}\Bigl(x_1-\frac{L}{2}\Bigr)\,.}
Região próxima a B expressa em coordenada x_2 (medida a partir de B para a esquerda), 0\le x_2\le a. Pela simetria a forma é análoga à Região I com x_1 trocado por x_2; assim:
\boxed{\,v_3(x_2)=\frac{P}{6EI}\,x_2^3-\frac{P a (L-a)}{2EI}\,x_2\,,\qquad \theta_3(x_2)=v_3'(x_2)=\frac{P}{2EI}\,x_2^2-\frac{P a (L-a)}{2EI}\,.}
Observação sobre sinais: v positivo para cima; com cargas para baixo as funções acima tipicamente dão valores negativos (deflexão para baixo) quando a e L têm valores numéricos que geram esse sinal — nada foi alterado na formulação.

Passo 7

Determinar a máxima deflexão (valor e posição). Pela simetria a deflexão máxima ocorre no meio x=L/2 (entre as cargas). Uso a expressão de Região II em x_1=L/2:
v_{\max}=v_2\!\left(\frac{L}{2}\right) =\frac{P a}{2EI}\left(\frac{L}{2}\right)^2-\frac{P a L}{2EI}\left(\frac{L}{2}\right)+\frac{P a^3}{6EI}.
Simplificando:
v_{\max}=\frac{P a}{2EI}\cdot\frac{L^2}{4}-\frac{P a L}{2EI}\cdot\frac{L}{2}+\frac{P a^3}{6EI} =\frac{P a}{24 EI}\left(4 a^2 - 3 L^2\right).
Se preferir a magnitude (valor absoluto) da deflexão máxima, toma-se |v_{\max}|. Em muitos casos 4a^2-3L^2 é negativo (para a relativamente pequeno), o que dá v_{\max}<0 indicando deflexão para baixo.

Resposta

v_1(x_1)=\dfrac{P}{6EI}\,x_1^3-\dfrac{P a (L-a)}{2EI}\,x_1 for 0\le x_1\le a
\theta_1(x_1)=\dfrac{P}{2EI}\,x_1^2-\dfrac{P a (L-a)}{2EI} for 0\le x_1\le a
v_2(x_1)=\dfrac{P a}{2EI}\,x_1^2-\dfrac{P a L}{2EI}\,x_1+\dfrac{P a^3}{6EI} for a\le x_1\le L-a
\theta_2(x_1)=\dfrac{P a}{EI}\Bigl(x_1-\dfrac{L}{2}\Bigr) for a\le x_1\le L-a
v_3(x_2)=\dfrac{P}{6EI}\,x_2^3-\dfrac{P a (L-a)}{2EI}\,x_2 for 0\le x_2\le a
\theta_3(x_2)=\dfrac{P}{2EI}\,x_2^2-\dfrac{P a (L-a)}{2EI} for 0\le x_2\le a
v_{\max}=v_2\!\left(\dfrac{L}{2}\right)=\dfrac{P a}{24 EI}\left(4 a^2 - 3 L^2\right)

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