- Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas
. Especifique a inclinação e a máxima deflexão. EI é constante.
Passo 1
O enunciado dá uma viga apoiada em
(esquerda) e
(direita), com comprimento total
. Há duas cargas concentradas iguais
, cada uma localizada a uma distância
de uma extremidade: uma em
medida a partir da esquerda e a outra em
. A rigidez à flexão é constante e igual a
. Na figura aparecem duas coordenadas de interesse:
medida a partir do apoio
para a direita e
medida a partir do apoio
para a esquerda.
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- Determinar as equações da linha elástica (deflexão
) usando as coordenadas e ; - Especificar a inclinação (slope)
em cada região; - Determinar a deflexão máxima.
Informações relevantes (retiradas do enunciado/figura):
- Comprimento da viga:
. - Distância das cargas às extremidades:
. - Cargas concentradas: duas cargas
(para baixo), em e . - Rigidez:
constante. - Coordenadas:
partir de (0 em para direita); partir de (0 em para esquerda).
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Reações nos apoios (equilíbrio estático). Como as cargas são simétricas, as reações nos apoios serão iguais; faço as contas rápidas para justificar a simetria:
Equilíbrio vertical:
Momento em torno de
:
Pelo balanço vertical segue
.
Portanto:
Comentário didático curto: para carregamento simétrico é comum ter reações iguais; aqui a verificação por momentos confirma.
Passo 3
Determinar o momento fletor
em termos de
medido a partir de
(ou seja, usando
quando conveniente). Divido a viga em três regiões naturais:
- Região I:
(entre o apoio esquerdo e a primeira carga). - Região II:
(entre as duas cargas). - Região III:
(entre a segunda carga e o apoio direito).
Calculo o momento em cada região somando contribuições (tomando convenção de sinais: reações positivas para cima, cargas negativas para baixo;
tomado de forma que
):
Região I (
): somente a reação
atua à esquerda do corte, logo
Região II (
): à esquerda do corte aparecem
e a carga
em
, então
(isto é, momento constante igual a
entre as cargas.)
Região III (
): agora aparecem as duas cargas e a reação esquerda; somando contribuições:
Resumo (tire uma referência mental: entre as cargas o momento é constante =
; perto das extremidades varia linearmente até zero no apoio).
Passo 4
Relação entre momento e curvatura / linha elástica. A equação clássica da linha elástica (pequenas deflexões, v deslocamento transversal) é
onde
é a deflexão vertical (positivo para cima pela convenção adotada; cargas para baixo produzem deflexão negativa). Vou integrar em cada região duas vezes para obter
(duas constantes de integração por região), e depois aplicar condições de contorno e contiguidades para determinar as constantes.
Integração por regiões (uso
como índice, lembrando que
representa
quando uso coordenada a partir de
).
Região I (
),
.
Integrando:
Região II (
),
(constante).
Integrando:
Região III (
),
.
Integrando:
Temos 6 constantes
. Vamos aplicar as condições: suportes sem deslocamento em
e
e continuidade de
e
nas junções
e
. Como a carga é simétrica, uso a simetria para simplificar: a viga e carregamento são simétricos em relação ao ponto médio
, então a linha elástica é simétrica e a inclinação no meio é zero:
Além disso
e
. Vou usar essas condições e as condições de continuidade em
.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno e de contiguidade e explorando a simetria para encontrar constantes.
Primeiro, condição
na Região I:
Condição de simetria:
. Como
está na Região II (entre as cargas), uso
:
logo
Continuidade de inclinação em
:
. Usando as expressões:
Igualando:
Substituindo
encontrado:
Continuidade de deflexão em
:
. Em termos de
:
Lembrando
e substituindo
e
, resolvo para
:
Ao simplificar obtém-se
Ao simplificar obtém-se
As outras constantes
podem ser obtidas impondo continuidade em
e condição
, mas não é necessário calcular
explicitamente se explorarmos a simetria: a viga é simétrica, então a expressão da deflexão medida a partir do apoio direito (
, indo para a esquerda) tem a mesma forma funcional que a medida a partir do apoio esquerdo. Assim podemos usar as fórmulas da Região I, trocando
por
, para representar a porção próxima a
.
Resumo das constantes encontradas (úteis):
Passo 6
Escrever explicitamente as equações da linha elástica e as inclinações nas regiões, usando as coordenadas pedidas.
Usando os resultados anteriores e dividindo tudo por
para escrever
e
:
Região I (
):
com
. Assim
Inclinação (derivada em relação a
):
Região II (
):
com
e
. Assim
Inclinação:
Região próxima a
expressa em coordenada
(medida a partir de
para a esquerda),
. Pela simetria a forma é análoga à Região I com
trocado por
; assim:
Observação sobre sinais:
positivo para cima; com cargas para baixo as funções acima tipicamente dão valores negativos (deflexão para baixo) quando
e
têm valores numéricos que geram esse sinal — nada foi alterado na formulação.
Passo 7
Determinar a máxima deflexão (valor e posição). Pela simetria a deflexão máxima ocorre no meio
(entre as cargas). Uso a expressão de Região II em
:
Simplificando:
Se preferir a magnitude (valor absoluto) da deflexão máxima, toma-se
. Em muitos casos
é negativo (para
relativamente pequeno), o que dá
indicando deflexão para baixo.