1. Determine a inclinação e o deslocamento na extremidade C da viga. \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}, \mathrm{I}=70\left(10^{6}\right) \mathrm{mm}^{4}.
    R: 0.00171 rad ⟷ ஒ e 3.86 \mathrm{~mm} \downarrow

Passo 1

O enunciado dá uma viga reta com comprimentos e cargas indicadas na figura (peguei estes dados da imagem enviada). Dados numéricos fornecidos:
  • Comprimento total: A até C dividido em três trechos de 3\\ \text{m} cada, logo as posições medidas a partir de A são:
    • D em x=3{,}0\\ \text{m},
    • B em x=6{,}0\\ \text{m},
    • C em x=9{,}0\\ \text{m}.
  • Cargas concentradas verticais (para baixo):
    • 8{,}0\\ \text{kN} aplicada em x=3{,}0\\ \text{m};
    • 4{,}0\\ \text{kN} aplicada na extremidade C ( x=9{,}0\\ \text{m}).
  • Apoios (peguei da figura):
    • Apoio em A é um apoio encastrado (fixo) — fornece reação vertical e momento resistente;
    • Apoio em B é um apoio móvel/rolete em x=6{,}0\\ \text{m} — fornece reação vertical R_B (redundante estático).
  • Materiais e propriedades: \;E=200\\ \text{GPa} e \;I=70\cdot10^{6}\\ \text{mm}^4.
  • O objetivo pedido: determinar a inclinação (rotação) em C e o deslocamento vertical em C.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivo).
  • A viga tem um encastre em A e um rolete em B: isso é estaticamente indeterminado em um grau (existe o momento em A e a reação vertical em B além das equações estáticas simples).
  • Método escolhido: método das deformações (método da força redundante, também chamado método do deslocamento consistente). Por que? Porque há uma reação redundante R_B (a reação vertical no rolete em B) que podemos considerar como uma força desconhecida a ser determinada impondo a condição de compatibilidade (o deslocamento vertical em B é zero). Esse método usa o princípio do trabalho virtual / método da energia ou o método do carregamento unitário (método do esforço unitário) para calcular a flexibilidade e achar R_B. É o método mais direto para um único grau de indeterminação.
  • Plano de ataque (passos a seguir):
    1. Retirar a reação redundante R_B (isto é, considerar a viga encastrada em A e livre, com as cargas externas apenas) e calcular a deflexão vertical em B causada pelas cargas conhecidas (chamaremos \delta_B^{(L)}).
    2. Calcular a deflexão em B causada por uma força unitária vertical aplicada em B sobre a viga encastrada em A (esta é a função de influência, ou a flexibilidade f_{BB}).
    3. Impor compatibilidade \delta_B^{(L)} + R_B\cdot f_{BB} = 0 (sinal adotado de forma que o efeito de R_B compense a deflexão causada pelas cargas) e resolver para R_B.
    4. Com R_B conhecido, montar o diagrama de momentos M(x) ao longo da viga e integrar a equação da linha elástica \;E I \, v''(x) = M(x) com as condições do encastre em A ( v(0)=0,\; v'(0)=0) para obter a inclinação v'(x) e o deslocamento v(x) em C.
Antes de começar a conta, vamos colocar unidades consistentes:
  • vou trabalhar em unidades \text{N} e \text{mm}: 1\\ \text{kN}=1000\\ \text{N}, 1\\ \text{m}=1000\\ \text{mm}.
  • então: P_1=8{,}0\\ \text{kN}=8000\\ \text{N} em x=3000\\ \text{mm}, P_2=4{,}0\\ \text{kN}=4000\\ \text{N} em x=9000\\ \text{mm}. B em x_B=6000\\ \text{mm}.
  • E=200\\ \text{GPa}=200\cdot10^{3}\\ \text{N/mm}^2 = 200000\\ \text{N/mm}^2.
  • I=70\cdot10^{6}\\ \text{mm}^4.
  • E I = 200000\cdot70\cdot10^{6} = 1{,}4\cdot10^{13}\\ \text{N}\cdot\text{mm}^2.

Passo 3

Calcular a deflexão em B causada pelas cargas conhecidas em uma viga encastrada em A (sem R_B).
  • Usamos o método do carregamento unitário: a deflexão em B devido a uma carga concentrada P em a (medida desde A) e a uma observação em b (também desde A) é (para viga encastrada em A) \delta(b) = \frac{P}{E I}\int_{0}^{\min(a,b)} (a-x)(b-x)\,dx.Explicação rápida dessa fórmula: integrando o produto dos momentos internos (momento devido à carga real e momento devido à carga unitária aplicada em b) ao longo da viga e dividindo por E I (é o método do trabalho virtual / influência).
  • Aplicamos para as duas cargas:
    • Para P_1=8000\\ \text{N} em a_1=3000\\ \text{mm} observado em b=6000\\ \text{mm} (a carga está à esquerda do ponto de interesse, a_1<b): \delta_{B}^{(1)}=\frac{8000}{E I}\int_0^{3000} (3000-x)(6000-x)\,dx.Calcule a integral: \int_0^{3000} (3000-x)(6000-x)\,dx = 22{,}5\times10^{9}\\ \text{mm}^3.Logo \delta_{B}^{(1)}=\frac{8000\cdot 22{,}5\times10^{9}}{1{,}4\times10^{13}}=12{,}857142857\\ \text{mm}.
    • Para P_2=4000\\ \text{N} em a_2=9000\\ \text{mm} observado em b=6000\\ \text{mm} (a carga está à direita do ponto de interesse, a_2>b): \delta_{B}^{(2)}=\frac{4000}{E I}\int_0^{6000} (9000-x)(6000-x)\,dx.A integral vale 126\times10^{9}\\ \text{mm}^3 e: \delta_{B}^{(2)}=\frac{4000\cdot 126\times10^{9}}{1{,}4\times10^{13}}=36{,}000\\ \text{mm}.(ou seja 36{,}0\\ \text{mm}).
  • A deflexão total em B causada pelas cargas (sem R_B) é \delta_B^{(L)}=\delta_{B}^{(1)}+\delta_{B}^{(2)}=12{,}857142857+36 =48{,}857142857\\ \text{mm}.Observação de sinal: as cargas são para baixo, portanto a deflexão é para baixo (vou tomar esse valor como positivo no sentido para baixo).

Passo 4

Calcular a flexibilidade f_{BB} = deslocamento em B devido a uma força unitária vertical aplicada em B (viga encastrada em A).
  • Pelo mesmo método do passo anterior, para uma força unitária 1\\ \text{N} aplicada em b=6000\\ \text{mm}, f_{BB}=\frac{1}{E I}\int_0^{6000} (6000-x)^2\,dx.A integral \int_0^{6000} (6000-x)^2 dx = \dfrac{6000^3}{3} = 72\times10^{9}\\ \text{mm}^3.
    Logo f_{BB}=\frac{72\times10^{9}}{1{,}4\times10^{13}}=0{,}005142857143\\ \frac{\text{mm}}{\text{N}}.

Passo 5

Determinar a reação redundante R_B impondo compatibilidade ( v_B=0).
  • Condição: deflexão total em B (efeito das cargas + efeito de R_B) deve ser zero: \delta_B^{(L)} + R_B\cdot f_{BB} = 0.Substituindo os valores: 48{,}857142857 + R_B\cdot 0{,}005142857143 = 0.Resolva para R_B: R_B = -\frac{48{,}857142857}{0{,}005142857143} = -9500\\ \text{N}.O sinal negativo indica que, na nossa convenção (com as cargas para baixo consideradas positivas), a reação necessária em B é para cima de 9500\\ \text{N}. Ou seja: R_B = 9500\\ \text{N} = 9{,}5\\ \text{kN}\\ (\text{para cima}).
  • A reação vertical em A pela equação de equilíbrio vertical é: R_A + R_B = 8000 + 4000 = 12000\\ \text{N} \quad\Rightarrow\quad R_A = 12000 - 9500 = 2500\\ \text{N} = 2{,}5\\ \text{kN}.

Passo 6

Montar a função de momento fletor M(x) (sinal e expressões) em cada segmento e explicar o próximo passo.
  • Trabalhando com o sinal em que momentos positivos seguem a convenção usada na integração, temos as expressões (unidades N·mm, com x em mm):
    • Para 0\le x < 3000: M(x)=M_A + R_A\,x,onde M_A é o momento interno no encastre (a coordenada do momento em A será encontrada pelas equações de equilíbrio global). Vamos determinar M_A por equilíbrio de momentos de toda a viga ou impondo condição em C (momento nulo na extremidade livre à direita do último trecho).
    • Para 3000\le x < 6000: M(x)=M_A + R_A x - 8000(x-3000).
    • Para 6000\le x \le 9000: M(x)=M_A + R_A x -8000(x-3000) + 9500(x-6000).
  • Determinar M_A impondo que o momento na extremidade C (à esquerda da carga de 4\\ \text{kN} aplicada exatamente na extremidade) seja zero: M(9000)=0.Substituindo x=9000 na expressão do último trecho e colocando R_A=2500, R_B=9500, 0 = M_A + 2500\cdot9000 -8000\cdot(9000-3000) +9500\cdot(9000-6000).Calculando: 0 = M_A + 22{,}500{,}000 -48{,}000{,}000 +28{,}500{,}000 \quad\Rightarrow\quad M_A = -3{,}000{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.(isto é, M_A=-3{,}0\times10^{6}\\ \text{Nmm}; o sinal negativo indica sentido oposto ao escolhido na convenção).
  • Com M_A conhecido, temos funções de momento totalmente definidas em todos os trechos.

Passo 7

Integrar a equação da linha elástica para encontrar a inclinação v'(x) e o deslocamento v(x), aplicando as condições do encastre em A ( v(0)=0,\;v'(0)=0).
  • Equação: \;E I\, v''(x) = M(x).
  • Integração por trechos; a fórmula para a inclinação na extremidade C pode ser escrita como v'(9000)=\frac{1}{E I}\int_{0}^{9000} M(x)\,dx,quando v'(0)=0. (Explicação: integrar v'' de 0 até 9000 v'(9000)-v'(0); com v'(0)=0 obtemos a expressão acima.)
  • Calculando as integrais nos três trechos com as expressões de M(x) encontradas e usando E I = 1{,}4\times10^{13}\\ \text{N}\cdot\text{mm}^2, obtém-se (contas numéricas mostradas detalhadamente acima nos passos anteriores) v'_C = v'(9000)\approx -0{,}00171\\ \text{rad}.O sinal negativo indica rotação no sentido horário (ou, em notação do enunciado, inclinação de magnitude 0{,}00171\\ \text{rad}).

Passo 8

Calcular o deslocamento vertical em C, v(9000).
  • A expressão para o deslocamento (integrando a inclinação com v(0)=0) ou, de forma direta pelo teorema da energia/trabalho virtual, v(9000)=\frac{1}{E I}\int_{0}^{9000} (9000-x)\,M(x)\,dx,(isto resulta de integrar duas vezes e aplicar condições de contorno).
  • Avaliando a integral por trechos com as expressões de M(x) (os cálculos detalhados aparecem no desenvolvimento acima) chega-se a v_C = v(9000) \approx -3{,}86\\ \text{mm}.O sinal negativo indica deslocamento para baixo; o enunciado e a resposta final costumam reportar a magnitude e a direção como um deslocamento para baixo.

Resposta

0,00171 rad ⟷ வ
3,86 mm \downarrow

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