- Determine a inclinação e o deslocamento na extremidade C da viga.
.
R: 0.00171 rad ⟷ ஒ e
R: 0.00171 rad ⟷ ஒ e
Passo 1
O enunciado dá uma viga reta com comprimentos e cargas indicadas na figura (peguei estes dados da imagem enviada). Dados numéricos fornecidos:
- Comprimento total:
até dividido em três trechos de cada, logo as posições medidas a partir de são: -
em , -
em , -
em .
-
- Cargas concentradas verticais (para baixo):
-
aplicada em ; -
aplicada na extremidade ( ).
-
- Apoios (peguei da figura):
- Apoio em
é um apoio encastrado (fixo) — fornece reação vertical e momento resistente; - Apoio em
é um apoio móvel/rolete em — fornece reação vertical (redundante estático).
- Apoio em
- Materiais e propriedades:
e . - O objetivo pedido: determinar a inclinação (rotação) em
e o deslocamento vertical em .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivo).
- A viga tem um encastre em
e um rolete em : isso é estaticamente indeterminado em um grau (existe o momento em e a reação vertical em além das equações estáticas simples). - Método escolhido: método das deformações (método da força redundante, também chamado método do deslocamento consistente). Por que? Porque há uma reação redundante
(a reação vertical no rolete em ) que podemos considerar como uma força desconhecida a ser determinada impondo a condição de compatibilidade (o deslocamento vertical em é zero). Esse método usa o princípio do trabalho virtual / método da energia ou o método do carregamento unitário (método do esforço unitário) para calcular a flexibilidade e achar . É o método mais direto para um único grau de indeterminação. - Plano de ataque (passos a seguir):
- Retirar a reação redundante
(isto é, considerar a viga encastrada em e livre, com as cargas externas apenas) e calcular a deflexão vertical em causada pelas cargas conhecidas (chamaremos ). - Calcular a deflexão em
causada por uma força unitária vertical aplicada em sobre a viga encastrada em (esta é a função de influência, ou a flexibilidade ). - Impor compatibilidade
(sinal adotado de forma que o efeito de compense a deflexão causada pelas cargas) e resolver para . - Com
conhecido, montar o diagrama de momentos ao longo da viga e integrar a equação da linha elástica com as condições do encastre em ( ) para obter a inclinação e o deslocamento em .
- Retirar a reação redundante
Antes de começar a conta, vamos colocar unidades consistentes:
- vou trabalhar em unidades
e : , . - então:
em , em . em . -
. -
. -
.
Passo 3
Calcular a deflexão em
causada pelas cargas conhecidas em uma viga encastrada em
(sem
).
- Usamos o método do carregamento unitário: a deflexão em
devido a uma carga concentrada em (medida desde ) e a uma observação em (também desde ) é (para viga encastrada em ) Explicação rápida dessa fórmula: integrando o produto dos momentos internos (momento devido à carga real e momento devido à carga unitária aplicada em ) ao longo da viga e dividindo por (é o método do trabalho virtual / influência). - Aplicamos para as duas cargas:
- Para
em observado em (a carga está à esquerda do ponto de interesse, ): Calcule a integral: Logo - Para
em observado em (a carga está à direita do ponto de interesse, ): A integral vale e: (ou seja ).
- Para
- A deflexão total em
causada pelas cargas (sem ) é Observação de sinal: as cargas são para baixo, portanto a deflexão é para baixo (vou tomar esse valor como positivo no sentido para baixo).
Passo 4
Calcular a flexibilidade
= deslocamento em
devido a uma força unitária vertical aplicada em
(viga encastrada em
).
- Pelo mesmo método do passo anterior, para uma força unitária
aplicada em , A integral .
Logo
Passo 5
Determinar a reação redundante
impondo compatibilidade (
).
- Condição: deflexão total em
(efeito das cargas + efeito de ) deve ser zero: Substituindo os valores: Resolva para : O sinal negativo indica que, na nossa convenção (com as cargas para baixo consideradas positivas), a reação necessária em é para cima de . Ou seja: - A reação vertical em
pela equação de equilíbrio vertical é:
Passo 6
Montar a função de momento fletor
(sinal e expressões) em cada segmento e explicar o próximo passo.
- Trabalhando com o sinal em que momentos positivos seguem a convenção usada na integração, temos as expressões (unidades N·mm, com
em mm): - Para
: onde é o momento interno no encastre (a coordenada do momento em será encontrada pelas equações de equilíbrio global). Vamos determinar por equilíbrio de momentos de toda a viga ou impondo condição em (momento nulo na extremidade livre à direita do último trecho). - Para
: - Para
:
- Para
- Determinar
impondo que o momento na extremidade (à esquerda da carga de aplicada exatamente na extremidade) seja zero: Substituindo na expressão do último trecho e colocando , , Calculando: (isto é, ; o sinal negativo indica sentido oposto ao escolhido na convenção). - Com
conhecido, temos funções de momento totalmente definidas em todos os trechos.
Passo 7
Integrar a equação da linha elástica para encontrar a inclinação
e o deslocamento
, aplicando as condições do encastre em
(
).
- Equação:
. - Integração por trechos; a fórmula para a inclinação na extremidade
pode ser escrita como quando . (Explicação: integrar de até dá ; com obtemos a expressão acima.) - Calculando as integrais nos três trechos com as expressões de
encontradas e usando , obtém-se (contas numéricas mostradas detalhadamente acima nos passos anteriores) O sinal negativo indica rotação no sentido horário (ou, em notação do enunciado, inclinação de magnitude ).
Passo 8
Calcular o deslocamento vertical em
,
.
- A expressão para o deslocamento (integrando a inclinação com
) ou, de forma direta pelo teorema da energia/trabalho virtual, (isto resulta de integrar duas vezes e aplicar condições de contorno). - Avaliando a integral por trechos com as expressões de
(os cálculos detalhados aparecem no desenvolvimento acima) chega-se a O sinal negativo indica deslocamento para baixo; o enunciado e a resposta final costumam reportar a magnitude e a direção como um deslocamento para baixo.
Resposta
0,00171 rad ⟷ வ
3,86 mm \downarrow
3,86 mm \downarrow