Determine o diagrama de pólos e zeros e a região de convergência (caso exista) para os seguintes sinais:
x(t)=e^{-8 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para obter o diagrama de pólos e zeros e a região de convergência (ROC) do sinal contínuo
x(t)=e^{-8t}\,u(t).
O conteúdo aqui é a transformada de Laplace de sinais de tempo contínuo, extração de pólos e zeros de uma função racional em s e determinação da ROC.

Passo 2

Usamos a definição da transformada de Laplace bilateral, mas como há u(t), a integral fica unilateral:
X(s)=\mathcal{L}\{e^{-8t}u(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-8t}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+8)t}\,dt.
Para convergir, precisamos que o expoente tenha parte real positiva: \Re(s+8)>0.

Passo 3

Calculando a integral, temos
X(s) =\left[\frac{e^{-(s+8)t}}{-(s+8)}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s+8},
válido se \Re(s+8)>0, ou seja, \Re(s)>-8.

Passo 4

Em seguida, fatoramos X(s) em forma racional
X(s)=\frac{1}{s+8}.
Os pólos são as raízes do denominador e os zeros as raízes do numerador:
• Denominador s+8=0 ⇒ pólo em s=-8.
• Numerador constante 1 ⇒ sem zeros finitos (apenas zero em s=\infty).

Passo 5

A região de convergência decorre da condição de validade da integral:
\Re(s+8)>0 \quad\Longrightarrow\quad \Re(s)>-8.
Como o sinal é causal u(t), a ROC situa-se à direita do pólo.

Resposta

Diagrama de pólos e zeros:
— Pólo simples em s=-8.
— Nenhum zero finito.
Região de convergência:
\Re(s)>-8.

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