Determine o diagrama de pólos e zeros e a região de convergência (caso exista) para os seguintes sinais:
x(t)=e^{3 t} \cos (20 \pi t) u(t)

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal \,x(t)=e^{3t}\cos(20\pi t)\,u(t) e pede o diagrama de polos e zeros da sua transformada de Laplace X(s), bem como a região de convergência. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a fórmula para sinais exponenciais modulados por cosseno.

Passo 2

Pela definição,
X(s) =\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{3t}\cos(20\pi t)\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-3)t}\cos(20\pi t)\,dt.
Usamos a identidade, válida para \Re\{a\}>0:
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\cos(bt)\,dt =\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.
Aqui a=s-3 e b=20\pi.

Passo 3

Substituindo,
X(s) =\frac{s-3}{(s-3)^{2}+(20\pi)^{2}},
com condição de convergência
\Re\{s-3\}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \Re\{s\}>3.

Passo 4

Para achar zeros e polos, igualamos numerador e denominador a zero:
— Zero: s-3=0; \Longrightarrow;zero simples em s=3.
— Polos: (s-3)^{2}+(20\pi)^{2}=0; \Longrightarrow; s-3=\pm j\,20\pi; \Longrightarrow;polos simples em
s=3\pm j\,20\pi.

Passo 5

A região de convergência é o semiplano
\Re\{s\}>3.
No diagrama no plano s:
– Um círculo (zero) em s=3.
– Duas cruzes (polos) em s=3\pm j20\pi.
– A região de convergência é todo o semiplano à direita da reta vertical \Re\{s\}=3.

Resposta

O sistema tem um zero simples em s=3 e dois polos simples em s=3\pm j\,20\pi. A região de convergência é \Re\{s\}>3.

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