Determine o diâmetro mínimo para a barra DF em mm, sabendo que a treliça é de aço com tensão admissível, \boldsymbol{\sigma}_{\text {adm }} \mathbf{= 2 5 2 ~ M p a}.
Sendo: \mathrm{F}=\mathbf{3 6 8} \mathbf{~ k N} ; \mathrm{L}=\mathbf{1 , 2 ~ m}, \mathbf{h}=\mathbf{0 , 7 ~ m}
a) Considere a barra maciça.
b) Barra vazada com diâmetro interno sendo 80% do diâmetro externo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente os números que deram):
  • Tensão admissível: \sigma_{\text{adm}}=252\\ \text{MPa}.
  • Força: F=368\\ \text{kN}.
  • Comprimento base: L=1,2\\ \text{m}.
  • Altura: h=0,7\\ \text{m}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o diâmetro mínimo da barra DF em mm, considerando:
    a) barra maciça (sólida);
    b) barra vazada com diâmetro interno igual a 80\% do diâmetro externo.
Informação importante (falta): o enunciado carece de figura/diagrama com a treliça ou da indicação explícita de como a carga F atua e de como os nós/elementos estão conectados. Sem a figura (ou a força interna na barra DF) não é possível obter o valor numérico da força axial em DF (ou seja, a força interna N_{DF}), que é essencial para calcular o diâmetro. Por isso não há como obter a resposta numérica final sem essa informação.

Passo 2

O que é preciso calcular antes de achar o diâmetro: a força axial na barra DF, que chamo de N_{DF}.
Por quê? Porque a verificação pela tensão admissível usa a relação
\sigma = \frac{N_{DF}}{A}
onde:
  • \sigma é a tensão (em N/mm ^2 se usarmos N e mm),
  • N_{DF} é a força axial na barra (em N; tensão positiva para tração ou compressão em valor absoluto),
  • A é a área da seção transversal (em mm ^2).
Para obter N_{DF} numa treliça normalmente usa-se:
  • método dos nós (equilíbrio de forças em cada nó: \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0), ou
  • método da seção (cortar a treliça e aplicar \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0,\\ \sum M=0 à seção).
Estas técnicas requerem conhecer a geometria completa da treliça (quais barras ligam quais nós), onde a carga F é aplicada e as condições de apoio. Sem essa informação não se pode calcular N_{DF}.

Passo 3

Se N_{DF} fosse conhecida, como obter o diâmetro mínimo para a barra maciça (sólida):
  1. A condição admissível (ignora flambagem; só verificação de tensão) é
\sigma_{\text{adm}} \ge \frac{N_{DF}}{A}.
  1. Para seção circular maciça, A=\dfrac{\pi}{4} d^2, onde \,d é o diâmetro externo (mm).
  2. Reorganizando para d:
\dfrac{\pi}{4} d^2 \ge \frac{N_{DF}}{\sigma_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad d \ge \sqrt{\dfrac{4 N_{DF}}{\pi\,\sigma_{\text{adm}}}}.
Explicando as variáveis:
  • d em mm;
  • N_{DF} em N;
  • \sigma_{\text{adm}} em N/mm ^2 (lembrando que 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N/mm}^2).

Passo 4

Se N_{DF} for conhecida, como obter o diâmetro mínimo para a barra vazada com diâmetro interno d_i igual a 80\% do externo D:
  1. Se d_i=0{,}8D, a área da seção anelar é
A=\frac{\pi}{4}\bigl(D^2-d_i^2\bigr) =\frac{\pi}{4}D^2\bigl(1-(0{,}8)^2\bigr) =\frac{\pi}{4}D^2(1-0{,}64) =\frac{\pi}{4}D^2\cdot0{,}36.
  1. Simplificando, A=\pi\cdot0{,}09\,D^2.
  2. A condição \sigma_{\text{adm}}\ge N_{DF}/A
D \ge \sqrt{\dfrac{N_{DF}}{\sigma_{\text{adm}}\cdot \pi\cdot 0{,}09}}.
  1. O diâmetro interno será d_i=0{,}8D.
Novamente: D e d_i em mm, N_{DF} em N, \sigma_{\text{adm}} em N/mm ^2.

Passo 5

Unidades e conversão prática (para evitar erro na prova):
  • Usar \sigma_{\text{adm}}=252\\ \text{MPa}=252\\ \text{N/mm}^2.
  • Converter forças para N: F=368\\ \text{kN}=368000\\ \text{N}.
  • Se obtiver N_{DF} em kN, converter para N antes de aplicar as fórmulas acima (ou converter \sigma para \text{MPa} consistentemente).

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para mostrar como usar as fórmulas): supondo, apenas como exemplo, que a força axial na barra DF fosse igual à carga aplicada F, isto é assumindo N_{DF}=F=368000\\ \text{N}. (ATENÇÃO: isto é só um exemplo; o valor real de N_{DF} só sai da análise da treliça.)
a) Barra maciça:
d \ge \sqrt{\dfrac{4\,N_{DF}}{\pi\,\sigma_{\text{adm}}}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 368000}{\pi\cdot 252}}
Calcule passo a passo:
4\cdot 368000=1\,472\,000, \qquad \pi\cdot 252\approx 791{,}681,
\frac{1\,472\,000}{791{,}681}\approx 1\,860{,}52, \qquad d \approx \sqrt{1\,860{,}52}\approx 43{,}14\\ \text{mm}.
b) Barra vazada ( d_i=0{,}8D):
D \ge \sqrt{\dfrac{N_{DF}}{\sigma_{\text{adm}}\cdot \pi\cdot 0{,}09}} = \sqrt{\dfrac{368000}{252\cdot\pi\cdot 0{,}09}}.
Calcule:
\pi\cdot 0{,}09\approx 0{,}282743,\qquad 252\cdot 0{,}282743\approx 71{,}313,
\frac{368000}{71{,}313}\approx 5\,161{,}45, \qquad D \approx \sqrt{5\,161{,}45}\approx 71{,}85\\ \text{mm}.
Então d_i=0{,}8D\approx 0{,}8\cdot71{,}85\approx57{,}48\\ \text{mm}.
Observação sobre esse exemplo: esses valores são corretos apenas se realmente N_{DF}=368\\ \text{kN}. Se N_{DF} for diferente (como normalmente será, pois o esforço axial depende da posição da carga e do arranjo da treliça), os diâmetros mudam proporcionalmente como nas fórmulas dos Passos 3–4.

Passo 7

Nota importante para prova/prática:
  • Se a barra DF trabalhar em compressão, além da verificação pela tensão admissível é preciso checar flambagem (Euler) — isso pode exigir diâmetro maior do que o determinado apenas pela resistência à tração/compresão. Para flambagem são necessárias informações adicionais: comprimento efetivo da barra, condição de contorno (apoios), módulo de elasticidade E do aço (tipicamente E\approx 210\\ \text{GPa}), etc.
  • Portanto, ao final da análise da treliça, identificar se DF está à tração ou à compressão e, se compressão, verificar flambagem antes de aceitar o diâmetro obtido pela verificação de tensão.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o diâmetro mínimo da barra DF porque falta a figura/descrição completa da treliça (ou, equivalentemente, o valor da força axial N_{DF} na barra). Forneci as fórmulas necessárias para calcular os diâmetros em função de N_{DF} e um exemplo numérico supondo N_{DF}=368\\ \text{kN} no desenvolvimento.

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